高考数学三角函数知识点总结及练习 (1)

一. 教学内容：

三角函数总结及统练 （一）基础知识

1. 与角终边相同的角的集合S{2k,kZ}

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x、y、r三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=sin 余弦线OM=cos 正切线AT=tan 5. 同角三角函数的关系

平方关系：商数关系：

倒数关系：tancot1 sincsc1 cossec1 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦 余弦 正切 余切 7. 两角和与差的三角函数

8. 二倍角公式——代换：令

1cos22sin2cos21cos22降幂公式

sin2半角公式：

1cos1cos1coscostan2221cos 2；；

9. 三角函数的图象和性质 函 数 图 象 定义域 值x2k/2时x2k时 R R R 域 ymax1 最x2k/2时ymax1 无最大值 无最小值 x2k时ymin1 值 ymin1 周期周期为2 性 奇偶奇函数 性 [2k周期为2 周期为 偶函数 在[2k,2k]上都是增函数，在奇函数 k,k22在2单调性 在,2k2 ]上都是增函数；在[2k,2k]上都内都是增函数[2k3,2k]是减函数（kZ） （kZ） 22 上都是减函数（kZ） 10. 函数yAsin(x)的图象变换 A0,0

函数yAsin(x)的图象可以通过下列两种方式得到：

图象左移ysinxysin(x)（1）

1横坐标缩短到原来的倍ysin(x)（2）ysinx

1横坐标缩短到原来的倍图象左移（二）数学思想与基本解题方法

1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。 3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。 4. 角的和与差的相对性 如：()－ 角的倍角与半角的相对性

2,222如：4

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。 6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】

1. 如：

yasinxbcosxa2b2sin(x),tanba（化成一个角的一个三角函数）

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

22f(x)sinx2sinxcosx3cosx （1）

2f(x)sinxsinxcosx1 （2）

解：

y22sin(2x（1）

4，ymax22，

)xk8(kZ)

（2）

yminy32323sin(2x)ymaxxk(kZ)224，2，8

32xk(kZ)2，8

2.“1”的妙用——凑一拆一

熟悉下列三角式子的化简

1cos2sin2；

1cos2cos2

[例2] 化简21sin822cos8 。

答案：2sin4 3. 化异为同

[例3] 已知tan2，求：

sin22sincos22（1）sincos （2）3cossin

答案：（1）3；（2）14

22cos22sin1[例4] 已知

tan222,，求：

sincos

答案：322

4. sincos与sincos间的相互转化

t21sincos2；sint21；sincos= （1）若sincost，则

（2）若sincost，则sincos12t；sincos12t

（3）

tancot12sincossin2

[例5] 化简：

tan8cot8 。

答案：22

[例6] 若在第二象限，

32

sin2cos25sincos2，求22。

答案：

5. 互为余角的三角函数相互转化

2，则sincos；cossin

若

[例7] 已知

sin(3)1cos()4，则6 。

1答案：4

sin40sin50[例8] 求值：cos10 。

1答案：2

[例9] 求值：sin18sin54 。

1答案：4

6. 公式的变形及活用

（1）tantantan()[1tantan]

AB4（2）若

(1tanA)(1tanB)2

[例10] 计算(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45) 。

答案：223

[例11] tan70tan103tan70tan10 。

答案：3

7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性

1tan,tan()23[例12] 若，则tan 。

答案：7

5cos(2[例13] 若

)7cos20，则

tan2tan2 。

答案：6

sinB0.8，[例14] 在ABC中，A为最小角，C为最大角，且cos(2AC)0.8，求cos(2B2C)的值。

527答案：625

8. 角的范围的限定

由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。

1sincos,(0,)3[例15] 已知，求cos2。

179

sin答案：

2[例16] 若是第二象限角且

(sincos25sincos2，求22的值。

解法一：利用公式

sincos)21sin22然后限定角的范围。 t2解法二：设

cos2利用平方和求t的值，然后限定角的范围。

解法三：利用

32

(sincos)(sincos)2222cos，可回避限定角的范围。

 答案：

9. 在三角形中的有关问题

ABCABC180；AB180C；222

结论：sin(AB)sinC；cos(AB)cosC

sinABCABCcoscossin22；22

[例17] 已知A、B、C是ABC的内角且lgsinAlgsinBlgcosClg2，试判断此三角形的形状。

答案：等腰三角形，B=C

[例18] 在锐角三角形ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC

AB2则

证明：由

02BA2

故sinAcosB 同理sinBcosC sinCcosA 三式相加，得证。

n 10. 形如cos2cos4cos8cos2的化简

24coscoscos777 [例19] 求值：（1）cos36cos72 （2）

11答案：（1）4（2）8

11. 三角函数图像和性质的应用

会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。 [例20] 求下列函数的定义域。

（1）ylgsin(cosx) （2）y2log0.5xtanx 答案：

（1）

(2k2,2k2)(kZ)

(0,)[,4]（2）2

[例21] 求下列函数的值域。

ysinxx[0,]2sinx

（1）

（2）若x是锐角，则ysinxcosx的值域。

1[0,]答案：（1）3 （2）(1,2]

12. 可化为形如：yAsin(x)B的形式（一个角的一个三角函数）

22[例22] 已知函数y3cosx23sinxcosxsinx，求“一套”。

答案：

y2sin(2x6)2，定义域：R；值域：[0,4]，ymax4，ymin0；T

对称轴

xk(kZ)[k,k]2636 增区间：

减区间：

[k6,k2](kZ)3

13. 函数yAsin(x)B的图像的变换——两个题型，两种途径

题型一：已知解析式yAsin(x)B确定其变换方法

变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。 注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系 题型二：由函数图像求其解析式yAsin(x)B [例23] 已知函数yAsin(x)，（A0,0，

x2）在一个周期内，当

x6时，y有

最大值为2，当

23时，y有最小值为2，求函数表达式，并画出函数yAsin(x)在

一个周期内的简图。（用五点法列表描点）

答案：

y2sin(2x6

)2yatbtc，tD（定义域有限制的一元二次函数） 14. 可化为形如：

[例24] 求函数

11[,]解：42

y3(2cosx)(5cosx)的值域

[例25] 已知ycos2xasinx，若记其最大值为g(a)，求g(a)的解析式。

a2a2y(sinx)124，当a2时，g(a)a 解：

a2g(a)14 当2a2时，

当a2时，g(a)a 15. 周期函数与周期

[例26] 已知函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(2xT)f(2x)，其中T0，则f(x)的周期 。

解：T

[例27] 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(x)成立，求其周期。

解：4

[例28] 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(2x)成立，求其周期。

解：8

f(x3)1f(x)成立，求其周期。

[例29] 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有

解：6

[例30] 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有

解：6

f(x3)1f(x)1f(x)成立 ，求其周期。

16. 函数与方程的思想

[例31] 方程100sinxx的解的个数 。

解：63

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

222. 已知tan2，求：sin2sincos3cos

3. 设

sincos14，则sincos 。

4. 求ysinxcosxsinxcosx的最大值和最小值。

cos40sin50(13tan10)5. 求值：6. 若

sin701cos40。

sincos15；(0,)，求cot

tan()11tan2，7，求2的值。

7. 已知、(0,)且

8. a为何值时方程cos2xcosxa0有解？

9. 方程cos2xasinx0，x[0,]有两解时求a的值。 10. 求值：

（1）cos20cos40cos60cos80 （2）sin18sin54 11. 求下列函数的定义域。

12. 已知函数y3cosx23sinxcosxsinx，当值及何时取到？

22x[,]44时，求函数的最大值和最小

【试题答案】

3ky1sin22xy1x(kZ)max421. ，， ymin1kx(kZ)4，24

6112. 5 3. 2

4. 令tsinxcosx，5. 2 6. 7.

43

y1333yminymax2(t1)24，424，t[2,2]，

提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。

tantan[()]13 tan(2)tan[()]1

解：

又由2得

2，

04得

022

则20故

9a[2,]8 8.

234

9. a(,1)

1110.（1）16 （2）4

11.

(2k,2k2)(2k2,2k)3 （kZ）

x12. 当

x4时，ymin23；

6时，ymax4