最新北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》专项练习2(解答)

三角函数的应用

解答题 A组

1.（2011年黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为20，测得碑顶在水中倒影的俯角为30（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，

tan702.747）.

解：如图，DE表示水面，A表示观测点， B为碑顶，B在水中的倒影，由题意：

BAC20，BAC30，AD1m

BADCEB70,B60

设BEx,则BCx1,BCx1.

1 在Rt△ABC中，ACBCtanBx1tan70 ○

2 在Rt△ABC中，ACBCtanBx1tan60 ○1、○2得x1tan70x1tan60 由○

tan70tan60xtan70tan60 1.015x4.479x4.41米

B答：水面到碑顶的高度4.41米.

2. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向. （1）求B处到村庄C的距离；

（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km） （参考数据：

，

解：过作（1）

，交，

于，，

） .

，

，即

处到村庄

的

，

距离为70km.（4分） （2）在

中，

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（5分）.

即村庄到该公路的距离约为55.2km.（1分）

3.（2011年北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由. （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：（1）如图，由点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）.由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.

（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.则AE＝AF＝160.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得：

DEAE2AD21602110227050305.∴EF＝6015（千米）.∵该台风中

心以15千米／时的速度移动.∴这次台风影响该城市的持续时间为时）.

6015415（小15（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）.

4.（2011年浙江省杭州市模拟23）

11020为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A北偏西45并距该岛20海里的B处待命.位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果

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精确到个位.参考数据：2≈1.4，3≈1.7）

答案：解：由图可知，∠ACB30，∠BAC45 ····· 2分 作BDAC于D（如图）， 在Rt△ADB中，AB20 ∴BDABsin45°202102 ························ 4分 2北

B 北 C

60° 北

45° 北 A

B 在Rt△BDC中，∠ACB30

∴BC2102202≈28 ································· 6分 ∴

28≈0.478分 6060° C

D

45°

A

∴0.476028.2≈28（分钟）9分

答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C．10分 5.（2011年北京四中模拟26）

如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据

31.732）.

答案：作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=x，在Rt△ACD中， ∠CAD=30° ∴CD=xtan30∴BD=

3x.在Rt△ABD中，∠ABD=30° 33x ∵BC=8 3x3x8 x436.928 73∴有触礁危险. 6.（北京四中模拟）

李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳.已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？

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（计算结果保留整数，参考数据sin320.53\\cos321065\an32） 1258

解：过E作EF⊥AB于F ∵AB⊥BC，DC⊥BC ∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan∠AEF=

AF5 ∴AF=EF tan∠AEF=24×=15 EF8∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层.

7.(2011湖北省天门市一模)安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.

O E F B D

13121(参考数据：tan18,tan32,tan40)

35025∵OD⊥AD

∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90° ∵∠OAC=32°，∠AOD=40° ∴∠CAD=18° ∴i=

CD=tan18°=1：3 ADA C 在Rt△OAB中，

OB=tan32° AB31∴OB=AB·tan32°=2×=1.24

50∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)

8.（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）

如图，大楼AB的高为16米，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°.其中

A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高度. 解：作BECD于E，

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可得Rt△BED和矩形ACEB，

则有CEAB16，ACBE，… …… …… ……… ……… … （2分） 在Rt△BED中，DBE45°，DEBEAC… …… …… ……（4分） 在Rt△DAC中，DAC60°，DCACtan603AC，… …… ……（5分）

16DEDC，16AC3AC，解得：AC838，… …… ……（7分）

所以塔CD的高度为(8324)米.… …… …… 8分

9.（2011年浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离.（结果保留根号） 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.……………1分 由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°. ∵ ∠PBC是△APB的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30°. …………………3分 ∴ ∠PAB＝∠APB. …………………4分 故 AB=PB=400米. …………………………6分 在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400， ∴ PC=PBsin60 …………………………8分 =400×B组

1.（2011浙江慈吉 模拟）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：

(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°； (2)在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点 ； B看大树顶端C的仰角恰好为45°(3)量出A、B两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树CD的高度.(结果保留3个有效数字) 答案：∠CDB=90°, ∠CBD=45°

CD=BD AB=4.5 AD=BD+4.5

北

60° 30°

P

A B C 东

3=2003（米）.…………………10分 2C

D 最新北师大版初中数学精品资料设计5 B A

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设高CD=x

则BD=x，AD=x+4.5

∠CAD=35° tan∠CAD=tan35°=

x x4.5整理后得x4.5tan35≈10.5

1tan35故大树CD的高约为10.5米

2.（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度. 答案：

解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.

则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米 在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴AD=

CD240803

tan603CD， AD在Rt△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD·tan30°=803BD， AD380 3∴BC=CD－BD=240－80=160 答：这栋大楼的高为160米.

3.（2011年杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，

D90°，CD4,ACBD，tanB2，求梯形ABCD的面积. 3DC答案：（本题6分）

在梯形ABCD中，AB∥CD， ∴∠1＝∠2.

∵∠ACB＝∠D＝90°. ∴∠3＝∠B.

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A

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∴tan3tanB2…………………………………………… 1分 3在Rt△ACD中，CD＝4， ∴ADCD6……………………………………………………………… 3分 tan32， 3∴ACAD2CD2213.在Rt△ACB中，tanB∴sinB2AC，∴AB13…………………………………………… 5分

sinB131∴S梯形ABCD(ABCD)AD51……………………………………… 6分

24.（2011年安徽省巢湖市七中模拟）.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？ (参考数据：2≈1.414，3≈1.732 )

解：在RtABC中，∵BC10，CAB45，∴AB=在RtDBC中，∵CDB30∴DBDA103 B=10(米) …2分 tan45C10 10=103米 ……4分

tan30则DA=DB-AB=10310≈10×1.73210= 7.32米. ……5分 ∵3 + DA10，所以离原坡角10米的建筑物应拆除. ……6分 答：离原坡角10米的建筑物应拆除. ……7分 5.（2011安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）.

（1）改善后的台阶坡面会加长多少？

（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：21.41，

31.73）

A

45º

C

30º 45º

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解：（1）如图，在Rt△ABC中，

ACABsin4552(m).……2分 2在Rt△ACD中，

ADAC5215251.417.05(m)，……………4分 sin3022ADAB7.055≈2.1m. ………………………………5分 即改善后的台阶坡面会加长2.1 m.

（2）如图，在Rt△ABC中，BCABcos45在Rt△ACD中，

CDAC5236.10(m)，……………………………8分

tan3023523.53 (m).………6分 2BDCDBC6.103.53≈2.6(m).………………………9分 即改善后的台阶多占2.6.长的一段水平地面. ……………………10分 6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（8分）（根据九年级数学一诊试题改编） 如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处.求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）.

解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60……2分 在Rt△APC中，cos∠APC=

PC， PAPC=PA·cos∠APC=303…………………………………2分

PC在Rt△PCB中，cosBPC………………………1分

PBPBPC303306……………………………2分

cosBPCcos45最新北师大版初中数学精品资料设计 8

Ｃ

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答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是306海里. 7.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌. 有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶

A G F C D E 端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处， 而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图）， 已知BC=5米，正方形边长为3米，•DE=4米. （1）求电线杆落在广告牌上的影长； （2）求电线杆的高度（精确到0.1米）.

解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分） （2）作GH⊥AB于H，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分） 因为：AHFD,DF=3,DE=4. …………（4分）

HGDEB A G F C

D E 所以：AH=6.53=4.875…………（5分）

4H B 所以：电线杆的高度为:

AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9.…………（6分）

答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆的高度为7.9米.…………（7分）

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