物资紧急调运问题

物资紧急调运问题

摘 要

本文就物资的紧急调运问题，运用图论和线性规划的理论和方法建立数学模型，针对物资的调运问题设计了合理的调运方案。

对于问题1，我们设置调运的优先度，考虑了三种调运方案：方案一，储备库的优先度大于仓库的优先度，此时先满足国家储备库的预测存储量，然后再满足其他仓库的预测需求量；方案二，储备库的优先度与仓库的优先度相同，此时同时考虑储备库和仓库的调运；方案三，储备库的优先度小于仓库的优先度，此时先满足仓库的预测存储量，然后再满足储备库的预测需求量。根据重点保证国家储备库的存储量的要求，我们认为方案一是比较合理的，将其分为两个阶段，运用Lingo软件求得最优解。

对于问题2，根据问题1求得的分配方案，粗略估算可知在第一阶段完成物资调运天数大于二十天，于是将第一阶段的调运分两部分计算。第一部分，前11天由于企业的生产，要考虑企业的最大库存量，可知这段时间内车辆的分配是固定的，利用Lingo软件求其中一组可行解；第二部分，由于假设企业在第11天的时候停止生产，可知企业中的库存量将在其最大库存量容许的范围内，利用自适应调整法，按在相同天数内完成各自的物资调运所需车辆的比例来确定初始分配，再逐步调节，寻找最优分配。第二阶段，同第一阶段的第二部分类似，设定初始值，再逐步调整，使其在满足要求的情况下达到最优，求得所用的天数最少为43天。

对于问题3，由于时间容许，我们在保证仓库和储备库达到预计需求量的基础上，优先考虑成本最少，并运用线性规划模型求解出最低的运输成本以及相应各企业和仓库之间的调运货物量，再根据货运量求解出满足仓库库存小于最大库存的最少车辆数和所需要的天数。

对于问题4，利用matlab图论工具箱求解出删去中断路线后的路径图，并求出各企业和仓库、储备库到16号地区的最小时间，选择能满足货物件数且时间最小的企业、仓库。考虑到，调运中灾害的突发情况，为了能确保物资件数，我们只从最近仓库和储备库向16号地区运送，并且我们发现距离16号仓库最近的企业和需供货的最远仓库的距离相等，这进一步说明了方案的合理性。通过计算，得出仓库1需供货200百件，仓库2需供货270百件，仓库5需供货230百件，储备库1需供货300百件，所需最小车辆数为辆。

针对论文的实际情况，我们对论文的优缺点做了评价，在文章最后还给出了其他的改进方向，以用于指导实际应用。

关键词：图论工具箱GrTheory；线性规划；LINGO；最优路径

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1．问题的重述

由于洪水、泥石流等各种自然灾害频频发生，给国家和人民财产带来重大损失，防洪救灾成为各级的一项重要工作。某地区为做好今年的防洪救灾工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪救灾物资的储备工作。

该地区现有3家该物资的生产企业，8个不同规模的物资储存仓库，2个国家级物资储备库，相关数据由表给出，其位置分布和道路情况由图给出。经测算该物资的运输费用为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件。各企业、物资仓库及国家级储备库的物资需要时可以通过公路运输相互调运。研究下列问题：

（1）根据未来的需求预测，在保证最低库存量和不超过最大容许库存量的情况下，还要重点保证国家级储备库的储存量，试设计给出该物资合理的紧急调运方案，包括调运线路及调运量。

（2）如果用于调运这批防洪救灾物资车辆共有18辆，每辆车每次能装载100件，平均在高等级公路上时速为80公里/小时，在普通公路上时速为50公里/小时。平均装与卸一车物资各需要1小时，一天按24小时计算。按照问题（1）的调运方案，如何来调度车辆，大约需要多少天能完成调运任务？

（3）若时间容许，希望尽量地减少运输成本，请给出最佳的调运方案，最少需要多少车辆？大约需要多少天能够完成调运任务？

（4）若在调运中，正好遇到灾害使下列路段意外中断：

（4）若在调运中，正好遇到灾害使下列路段意外中断：

。 ， - ， - - ， - ， - 号地区严重受灾，急需向 而且 号地区调运10万件救灾物资，请给出相应的紧急调运方案。必要时可动用国家级储备库的物资，也可以不考虑库量的最低。如果要求必须在5天内完成这次调运任务，那么最少需要多少辆车，并给出车辆的调度方案。

2．问题的分析

防洪救灾物资的储备的调度因灾情而异，在紧急情况下，主要考虑时间最优化；在不紧急的情况下，主要考虑运输成本最低。我们对不同的问题作如下分析。

问题一，我们可以根据题目的信息加以分析，先把图1的实际图形转化为权值为路程和权值为成本的赋权图，根据图论知识建立数学模型。

根据重点保证国家级储备库的要求和各仓库现有库存量及预测需求情况，又要保证仓库的最低库存量，在调运时引入优先度，当储备库的优先度大于仓库的优先度，此时先满足国家储备库的预测存储量，然后再满足其他仓库的预测需求量，分为两个阶段进行，第一阶段，从企业1、2、3和仓库3、4调运救灾物资满足国家级储备库和其他仓库的预测需求量，往储备库的调运主要考虑时间最优化，运用Matlab中的GrTheory图论工具箱，可以得出路程最短的路线；第二阶段，从企业1、2、3以及现有库存量大于预测需求量的仓库调运物资满足其它仓库的预测存储量，经过简单计算可知，时间不是最主要的影响因素，此时考虑运输成本最低。我们可以把图1的实际图形转化为权值为运输成本的无向图，计算出各节点（企业、仓库、储备库）之间最低运输成本的路线。

由于现有库存总量无法满足各仓库和储备库预测需求量的总和，故各企业还要进行生产。由此建立线性规划模型，利用Lingo软件求出最佳调运方案。

2

问题二，根据车辆在高等级公路和普通公路上的时速，可以把图1的实际图形转化为权值为时间的无向图。按照问题（1）的调运方案，以调运任务的时间最短为目标函数，用于调运的车辆数、各货源地向目的地的调运量等为约束条件建立线性规划模型，并用Lingo软件进行求解。

问题三，在时间容许的情况下，希望尽量减少运输成本，我们可以把图1的实际交通图形转化为权值为运输成本的无向图，得出最低成本调运方案，并计算出最少需要的车辆。计算在此方案下完成调运任务的天数。

问题四，若在调运中，正好遇到灾害使下列路段意外中断，我们可以在问题一权值为路

号地区调运10万件救灾物资，计算出所需时间程的无向图中去掉意外中断的路线，向 最短的调运方案，必要时可动用国家级储备库的物资，也可以不考虑库量的最低。考虑到必须在5天内完成这次调运任务，计算出最少需要的车辆，并给出车辆的调配方案。

3．模型的假设与符号说明

3．1 模型的假设

（1）假设一 在问题一中，运输能力没有，即物资调运时间不计；

（2）假设二 每一条公路满足最大车流量，即选择的运输路线顺利通车，不出现较长时间的路障以及断路等情况；

（3）假设三 所有路线均可双向行使，即车辆往返使用同一线路；

（4）假设四 企业的物资生产过程是不连续的，前一天全部生产的物资只有到第二天才能运出；

（5）假设五 不考虑空车行驶过程的成本，即不考虑返程的成本； （6）假设六 除装卸车外，车辆一直在调运线路上运输；

3．2 符号说明

t: 企业生产天数；

； Ai：表示企业、仓库、储备库的现有库存量（百件）

； Si：表示企业i的日生产量（百件）

； Yi：表示仓库、储备库的未来预测需求量（百件）

hi：第一阶段企业和仓库到储备库2的货物数（百件）(i1,,10)； Di：代表第i天(i1,,10)；

Ci：给每条路线分配的车辆数量(i1,,6)；

xi:企业1运到仓库j(j1,,8)和储备库1、储备库2的物资件数(i1,,10)； yi:企业2运到仓库j(j1,,8)和储备库1、储备库2的物资件数(i1,,10)； zi：企业3运到仓库j(j1,,8)和储备库1、储备库2的物资件数(i1,,10)；

4．模型的建立与求解

3

4．1 交通网络图数学化

我们先把图1的实际交通图形转化为权值为路程的赋权图，根据企业、仓库、储备库的分布图，以任意两节点之间的路程为权重，建立各节点之间的赋权图如下所示，

The initial graph with weighed edges5816215265504523758045222043507268227818192413302830805058251826123870405258704815112771050283232405042629214863040284223533230283852402841055060403117085504560296240623015393225343310235986838353803717561436836

图1 权值为路程的赋权图

4

1767.2062.401460.0023The initial graph with weighed edges69.60211678.00.00150.00.002286.4096.0060.002081.6013100.0093.6096.001262.404372.0018876.00100.0069.6026.40192460.0033.6036.002521.602655.2080.0084.00112.001196.0027140.00796.00101533.60.00.0080.0060.0050.40931.204157.60636.004033.604238.4036.0056.0076.0028420.00572.0080.0084.00170.002974.403018.003974.403230.003481.603833456.0042.003760.00.0072.0048.003662.403174.40242.00348.0060.001204.00117.6035

图2 权值为成本的赋权图

4．2 问题1 模型建立与求解： 4.2.1 模型Ⅰ的建立与求解

要想满足物资的紧急调运，即所有仓库和储藏库里的库存量在尽可能短的时间内都达到预测储存量。假设需要t天后能满足条件，则有： 目标函数

mint ，

满足的条件

13310A+StY （tNiiii1i1i1 ）,

其中Ai（见表1）分别表示企业、仓库、储备库的现有库存量（百件），Si（见表1）分别表示企业i的日生产量（百件），Yi（见表1）分别表示仓库、储备库的未来预测需求量（百件）。

表1 企业及仓库、储备库的库存量 库存 单位 企业1 企业2 企业3

现有库存量 360 600 500 最大容许库存量 600 800 600 最低需求库存量 — — — 5

预测需求量 — — — 产量（/天） 40 30 20 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2 200 270 450 800 230 280 390 500 2000 1800 800 900 600 1000 400 500 600 800 4000 3000 100 200 200 300 100 200 300 200 2000 1500 500 600 300 400 350 450 500 600 3000 2500 — — — — — — — — — — 求解模型可知，最少需要的天数为10天。我们令企业在生产10天后则停止生产。 4.2.2 模型Ⅱ的建立

由题中所给数据可知，仓库3、4中的现有库存量大于其未来预测需求量，为使最快完成物资的调运，我们把仓库3、4也作为库源。

因为要重点保证国家级储备库，且各仓库中的容量不少于其最低库存量，假设每天运往储备库的物资总量为u1，运往其余仓库的总量为u2，使其比值u1:u2=Q。

u1i:u2iQuuz2ii1in1700u1ii1n1s.t.u1i1700 ， nN,mN i1m1130u1ii1m1u1i1130i1其中，zi分别表示各企业和仓库3、4每天可被调运的最大总物资数。

给定一个Q值，则可算出一组m、n值，取t=min{m,n},在前t-1天内，分别调运到储备库的总量与调运到仓库中的物资总量之比为Q，且按最大调运量进行（即每天企业中的物资无剩余，仓库3、4中的能被调运的物资在第一天时则被调运完）。若mi1m1储备库；若mn，即可知在第t天的时候只需往储备库中调运（1700-u1i）百件物资，剩

i1n1下的11-t天内只需从企业调运物资到仓库；若mn，则知mn11，即在第11天时只需分别往储备库和仓库中调运（1700-u1i）、（1130-u1i）百件物资。

i1i11010

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在此问题中我们没有考虑的调运能力，即认为每天的调运能瞬间完成，因此我们以运输成本最低作为目标函数，可得 目标函数

minaijbij，

j1i158满足条件

8

aijcij15

s.t.aijdi ， i15

aijzii1

其中，4分别调运到其余仓库和储备库的物资数（百aij(i1,2,3,4;j1...7)表示企业和仓库3、件），bij（见表6）表示各企业和仓库3、4分别运送物资到其余仓库和储备库的最低单价（元/百件∙趟），ci（见表6）分别表示各企业和仓库3、4可被调运的最大物资数，di、zi（见表6）分别表示除仓库3、4外其它仓库所需要的最少物资数和最大物资数。

表2 各企业和仓库3、4分别运送物资到其余仓库和储备库的最低单价（元/百件 ∙ 趟） 企业1 企业2 企业3 仓库3 仓库4 所需最少物资 所需最大物资 仓库1 185 70 269 356 259 300 600 仓库2 150 188 430 518 340 330 630 仓库5 156 247 436 524 346 120 170 仓库6 376 304 174 322 239 170 220 仓库7 257 142 197 284 227 110 210

仓库8 404 331 112 199 142 100 300 储备库1 120 158 232 320 142 1000 2000 储备库2 322 178 122 210 152 700 1200 可被调运最大物资 760 900 700 150 400 模型Ⅱ求解

我们对此仅给出三种特殊情况的模型解。

情况一：权值Q，即先把储备库中的物资需求满足后再满足仓库的物资需求。 利用Lingo软件求解上述模型，可得如下表

表3 各企业和仓库3、4分别运送物资到储备库的调运量及路径 库源 企业1 企业2 目的地 储备库1 储备库1 调运量 360 440 路径 24-26-27 41-6-40-27 7

企业3 仓库4

储备库2 储备库1 储备库2 500 200 200 34-32-39-30 31-42-27 31-32-39-30 表4 各企业和仓库3、4分别运送物资到仓库的调运量及路径

库源 企业1 企业2 企业3 仓库3

目的地 仓库2 仓库5 仓库1 仓库2 仓库7 仓库6 仓库8 仓库8 调运量 280 120 300 50 110 170 30 70 路径 24-26-19-18-23 24-26-19-22 41-9-28 41-9-15-18-23 41-6-4-29 34-1-33-36 34-32-38 35-32-38 情况二：权值Q1，即在前t1天内每天分别调运到仓库和储备库的物资量相等 利用matlab软件求解上述模型，可得m5;

前5天，所有库源每天的总量的1/2调往仓库，剩余1/2调往储备库，利用Lingo软件求解如下表所示

表5 各企业和仓库3、4分别运送物资到仓库的调运量及路径 库源 目的地 调运量 路径 240 24-26-19-18-23 企业1 仓库2 300 41-9-28 仓库1 企业2 35 41-9-15-18-23 仓库2 170 34-1-33-36 仓库6 企业3 100 34-32-38 仓库8 75 35-39-30-29 仓库3 仓库7 55 31-42-27-26-19-18-23 仓库2 120 31-42-27-26-19-22 仓库4 仓库5 25 31-32-39-30-29 仓库7 第五天之后，企业生产的物资全部调往储备库，利用Lingo软件求解可得总的往储备库调运的物资安排如下表

表6 各企业和仓库3、4分别运送物资到储备库的调运量及路径 库源 目的地 调运量 路径 520 24-26-27 企业 1 储备库1 480 41-6-40-27 储备库1 企业2 5 41-6-4-30 储备库2 420 34-32-39-30 企业3 储备库2 75 35-32-39-30 仓库3 储备库2 200 31-32-39-30 仓库4 储备库2

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情况三：权值Q=0，即先把仓库中的物资需求满足后再满足储备库的物资需求。 利用Lingo软件求解上述模型，可得

表7 各企业和仓库3、4分别运送物资到仓库的调运量及路径 库源 目的地 调运量 路径 240 24-26-19-18-23 仓库2 企业1 120 24-26-19-22 仓库5 300 41-9-28 仓库1 90 41-9-15-18-23 企业2 仓库2 110 41-6-4-29 仓库7 170 34-1-33-36 仓库6 企业3 100 34-32-38 仓库8

表8 各企业和仓库3、4分别运送物资到储备库的调运量及路径

库源 企业1 企业2 企业3 仓库3 仓库4 目的地 储备库1 储备库1 储备库2 储备库2 储备库1 储备库2 调运量 320 400 430 150 280 120 路径 24-26-27 41-6-40-27 34-32-39-30 35-32-39-30 31-42-27 31-32-39-30 4．3 问题2 模型建立与求解：

根据问题一所得的调运方案，可知在第一阶段（即重点保证国家级储备库的调运时），调运路线及分配数量都是一定的，因此我们只需在这些既定路线和物资数量的条件下安排运输车辆的调配，使运输天数最少。

粗略计算可知，计算结果后手动调整，尽量不要出现，这样评委可能认为模型不具推广性，调整可以写成“自适应调整”，见下文P10页。在完成这一阶段调运任务时，如果所有车辆都用上，至少需要二十几天的时间。而由问题一可知，在企业连续生产十天后，企业将能保证所有仓库及储备库中的储存量达到预测值。我们让企业在第十一天起停止生产，否则在保证完所有仓库和储备库的条件下，继续生产下去将使企业库存量超过其最大容量，不符合要求。

我们可以假设前10天18辆车都在不间断工作，且都只在同一路线上运送。可得如下方程：

9

240360+40(D1)C1Di600i6060030(D1)24CD800i2i5.92240500C3Di5.68, 050020(D1)24CD600i4i6.0824090C5Di4.48240110C6Di5.15Ci16i18,CiN* ,

通过LINGO软件求得结果如下，

表7 各节点之间分配的车辆数量

储备库1（辆） 储备库2（辆） 企业1 4 企业2 3 企业3 3 仓库3 0 仓库4 8 仓库7 0 根据上表可知，运送十一天后，在第一阶段输出物资的仓库和企业剩余库存量，如下表所示，

表8 第一阶段仓库和企业剩余库存量（百件） 库存量 企业1 584 企业2 766 企业3 570 仓库3 450 仓库4 428 仓库7 390 由上表可知，以上企业和仓库的库存量都在各自最大容许库存量范围内。 从第12天开始，由于企业不再生产，因此将不再担心企业库存量会超出其最大库存量的问题，我们将重新安排车辆的调运，使其最短时间内完成第一阶段的调运。第一阶段剩下的需调运的物资量如下表所示，

表9 第一阶段剩下的需调运的物资量（百件）

需调运量 企业1 184 企业2 6 企业3 370 仓库3 110 仓库4 128 仓库7 90 为了使其尽量满足在最少的天数内把物资调运完成，在分配车辆时，使其尽量满足每条线路总的调运时间相等，即

184637011012065.926.085.155.684.48 C1C2C3C4C5C6i16

Ci18 ,

可解得一组相对较优解如下，

C14,C21,C37,C42,C52,C62 ,

由计算结果可知，对于企业2，在大约1.45天全部调运完毕后，将车再调配到企业3；

10

而仓库7作为库源在大约8.4天后即可全部调运完毕，这时候除库源企业2已转移完毕，其余库源均还未转移完毕，将其2辆车都转移到库源仓库4处，加入仓库4的调配。

在这种情况下，可以保证所有车辆在同一天完成调运，即尽量保证车子的利用率最大，且车子的调配次数少，可以减少车辆在库源间调配所需要的时间，提高车辆的利用率。这时，忽略车辆转移过程中所耗费的时间，可计算得所有路线都调运完毕各自所需的大概时间如下表所示，

表10 所有路线都调运完毕所需时间 时间/天 企业1 11.5 企业2 11.48 企业3 11.9 仓库3 11.8 仓库4 11.77 仓库7 8.4 加上之前的11天，可知完成该阶段的调配需要至少大约23天。 在完成第一阶段后，可知国家级储备库已经达到预期值，即不需要再想储备库调运物资了，此时只需要考虑企业向仓库调运物资。由问题1可知，除了仓库3中的现存量高于预测库存量外，其余仓库的现存量都少于各自的预测值，因此仓库3作为了库源向别的仓库提供物资，可知此时各企业和仓库3的可供应量如下表：

表11 各企业和仓库3的可供应量（百件）

可供应量 企业1 400 企业2 760 企业3 200 仓库3 40 其他仓库的需求量如下表所示， 表12 其他仓库的需求量（百件）

需求量 仓库1 300 仓库2 230 仓库4 100 仓库5 120 仓库6 170 仓库7 200 仓库8 100 由问题中如下表的调运关系 表13 各节点之间的调运量

企业1 企业2 企业3 仓库3 仓库1 仓库2 仓库4 0 300 0 0 280 50 0 0 0 100 0 0 仓库5 120 0 0 0 仓库6 仓库7 仓库8 0 30 140 0 0 200 0 0 0 0 60 40 第一阶段，在重点保证国家级储备库时，各路线每趟车次所需要的时间及需调运的总物资数如下表：

表14 各路线每趟车次所需要的时间及需调运的总物资数 线路号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 路径 企业1 储备库1 企业2 储备库1 仓库4 储备库1 企业3 储备库2 仓库3 储备库2 仓库7 储备库2 每趟车次所需时间/小时 6 5.92 5.68 6.08 5.15 4.48 需调运的总物资数/百件 360 140 500 500 90 110 通过逐步调整车辆的分配，使其尽量达到最优方案，即调运天数最少。可得分配方案分以下几步：

Step 1:第1天各线路的车辆安排情况如下表所示，

表15 第1天各线路的车辆安排情况

路线 车辆 ① 4 ② 1 ③ 7 ④ 2 ⑤ 2 ⑥ 2 11

Step 2:到第2天的时候，将②号路线上的车在完成自己所属路线的物资调运后，被调配到③号路线，可得此时车辆分配如下表：

表16 第2天各线路的车辆安排情况

路线 车辆 ① 4 ② 0 ③ 8 ④ 2 ⑤ 2 ⑥ 2 Step 3:到第9天的时候，⑥号路线上的车在完成自己所属路线的物资调运后，被调配到③号路线，可得此时车辆分配如下表：

表17 第9天各线路的车辆安排情况 路线 车辆 ① 4 ② 0 ③ 8 ④ 2 ⑤ 4 ⑥ 0 Step 4:在第12天的时候，则所有路线都能完成物资的调运，且各车辆尽可能同时完成调运任务，这时，将得到相对较优的调配方案，且车辆在不同路线之间的调配次数相对比较少，可减少由于车辆调配带来的时间浪费。

第二阶段，在已经完成重点保证国家级储备库后，各路线每趟车次所需要的时间及需调运的总物资数如下表：

表18 第二阶段各路线每趟车次所需要的时间及需调运的总物资数

线路号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 路径 企业1 仓库2 企业1 仓库5 企业2 仓库1 企业2 仓库2 企业2 仓库4 企业2 仓库6 企业2 仓库7 企业3 仓库6 企业3 仓库8 仓库3 仓库8 每趟车次所需时间/小时 需调运的总物资数/百件 6.47 7.2 4.32 8.28 8.32 12.12 6.12 7.8 5.72 8. 280 120 300 50 100 30 200 140 60 40 通过逐步调节车辆的分配，使其尽量达到最优方案，即调运天数最少。可得分配方案分以下几步：

Step 1: 第1天各线路的车辆安排情况如下表所示，

表19 第1天各线路的车辆安排情况

路线 车辆（辆） ① 3 ② 2 ③ 3 ④ 1 ⑤ 2 ⑥ 1 ⑦ 2 ⑧ 2 ⑨ 1 ⑩ 1 Step 2:到第15天的时候，将⑨和⑩号不要写具体的标号，而要用i,j,使看起来具有推广性，显得专业，体现为算法。可以用流程图。路线上的车在完成各自的物资调运后，都调配到①号路线，可得此时车辆分配如下表：

表20 第15天各线路的车辆安排情况 路线 车辆（辆） ① 5 ② 2 ③ 3 ④ 1 ⑤ 2 ⑥ 1 ⑦ 2 ⑧ 2 ⑨ 0 ⑩ 0 Step 3:到第16天的时候，将⑥号路线上的车在完成自己所属路线的物资调运后，被调配到①号路线，可得此时车辆分配如下表：

表21 第16天各线路的车辆安排情况

路线 车辆（辆） ① 6 ② 2 ③ 3 ④ 1 ⑤ 2 ⑥ 0 ⑦ 2 ⑧ 2 ⑨ 0 ⑩ 0 12

Step 4:到第18天的时候，将④和⑤号路线上的车在完成各自所属路线的物资调运后，都被调去跑⑦号路线，可得此时车辆分配如下表：

表22 第18天各线路的车辆安排情况

路线 车辆（辆） ① 6 ② 2 ③ 3 ④ 0 ⑤ 0 ⑥ 0 ⑦ 5 ⑧ 2 ⑨ 0 ⑩ 0 Step 5:到第19天的时候，将②和③号路线上的车在完成各自所属路线的物资调运后，都被调去跑⑧号路线，可得此时车辆分配如下表：

表23 第19天各线路的车辆安排情况 路线 车辆（辆） ① 6 ② 0 ③ 0 ④ 0 ⑤ 0 ⑥ 0 ⑦ 5 ⑧ 7 ⑨ 0 ⑩ 0 Step 6:在第21天的时候，则所有路线都能完成物资的调运，且各车辆完成的时间相差范围在一趟车次（即几个小时）内，这时，将得到相对较优的调配方案，且车辆在不同路线之间的调配次数相对比较少，可减少由于车辆调配带来的时间浪费。

4．4 问题3 模型建立与求解：

由题目知，需要尽量的减少成本，因此在设计方案时，先只考虑成本最低，再在这最低成本的概率下，得到满足条件的最少车辆数以及相应的天数。因此只要满足仓库的预期需求量即可。设企业1运到仓库i(i18)和储备库1、储备库2的物资件数为vi(i110)，企业

，8)和储备库1、储备库2的物资件数为wi(i110)，企业3运到仓库2运到仓库i(i1，i(i18)和储备库1、储备库2的物资件数为xi(i110),仓库3到仓库i(i18)和储备库

1、2的物资件数为yi(i110)，仓库4到仓库i(i18)和储备库1、2的物资件数为

zi(i110)。通过matlab图论工具箱可得权重为成本的赋权图，

1767.2062.401460.0023150.00.0072.0018876.00100.0069.602286.4096.0060.002081.6013100.0093.6096.001262.4043The initial graph with weighed edges69.60211678.00.0026.40192460.0033.6036.002521.602655.2080.0084.00112.001196.0027140.00796.00101533.60.00.0080.0060.0050.40931.204157.60636.004033.604238.4036.0056.0076.0028420.00572.0080.0084.00170.002974.403018.003974.403230.003481.603833456.0042.003760.00.0072.0048.003662.403174.40242.00348.0060.001204.00117.6035

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图3 权值为成本的赋权图

并通过matlab图论工具箱分别计算出企业1、企业2、企业3、仓库3，仓库4到各仓库i和储备库1、储备库2的最小费用，得出下表，

表24 各企业到各仓库的最小费用（单位：元/百件） 企业1 企业2 企业3 仓库3 仓库4 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 185 70 269 356 259 150 188 430 518 340 440 367 148 0 178 262 190 90 178 0 156 247 436 524 346 376 304 174 322 239 257 142 197 284 227 404 331 112 199 142 储备库1 120 158 232 320 142 储备库2 322 178 122 210 152 由此我们可以建立运输成本最小的目标函数， MAvBwCxDyEz ，

其中，A,B,C,D,E为行向量，v,w,x,y,z列向量，其值如下，

A185B70C269D356259E150440262156376257404120322188367190247304142331158178430140436174197112232122，

51801785243222841993202103401780346239227142142152vv1v2v3v4v5v6v7v8v9v10wwwwwwwwwww234567101xx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10。 yyyyyyyyyyy234567101zz1z2z3z4z5z6z7z8z9z10再根据最大仓库容量和预计需求量以及企业产量列出条件。根据目标函数解出各企业需要向各仓库运送的物资件数以及路径表，

表25 最小运输成本下，各企业到各仓库的运输物件数（单位：百件） 企业1 企业2 企业3 仓库3 仓库4 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 0 300 0 0 0 0 330 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 0 0 0 0 0 0 170 0 0 0 110 0 0 0 0 0 100 0 0 储备库1 1000 0 0 0 0 储备库2 0 700 0 0 0 通过各企业到各仓库的运输物件数可以计算出各企业的总产量以及所需要的生产天数， 表26 各企业的总产量及所需生产的天数

总产量（百件） 天数（天） 企业1 1120 19 企业2 1440 28 企业3 270 0 运用matlab工具箱计算出各企业到所需运送的仓库的路线及每辆车运一趟需要的时间，得到下表，

14

表27 企业1到所需运送仓库的最小成本路线和时间 路线 时间/小时（往返） 路线 时间/小时（往返） 路线 时间/小时（往返） 仓库1 41-9-28 4.32 仓库5 24-26-19-22 7.2 仓库2 41-9-15-18-23 8.01 仓库6 34-1-33-36 7.80 储备库1 24-26-27 6.0 仓库7 41-9-28-29 5.87 仓库8 34-32-38 5.72 储备库2 41-6-4-30 7.35 表28 企业2到所需运送仓库的最小成本路线和时间 表29 企业3到所需运送仓库的最小成本路线和时间 根据以上三个表格中的数据，再根据三个企业的最大库存量，第一次可以估算出各企业所需的最小车辆数。设所需车辆数为n辆，运送天数为m天，最大库存量与现有库存量之差为k，企业产量为p百件，企业到各仓库的时间为t小时，则根据公式：

24(pm)nk ,

t可以算出最小车辆数，如下表：

表30 第一次求得各企业所需最小车辆数 车辆数（辆） 企业1 9 企业2 5 企业3 4 考虑到各企业生产的天数不同，可能存在先运完的企业的车辆到没有运完的企业去运，因此先计算生产天数较少的企业所需的运货天数，再计算较多的。在单个企业运输时，为了确保库存不超过最大库存，先运输较远的，再运输较近的仓库。用上表数据，在不考虑企业间车辆调动情况下，计算得，企业2运完所需56.92天，企业1运送完需要47.04天，企业3运完所需31.95天，均大于企业的生产天数，故车辆数为最少。而企业3运输天数为32天，于是可以让在企业3运输的车辆从第32天开始去企业1运输，这时将企业1货物运输完要37天，这时又可以从第38天开始让所有车到企业2去运输，这时企业2货物运完要45天，从而得到各企业所需最小车辆数和相应的运送天数如下表，

表31 各企业所需少车辆数和相应的天数

车辆数（辆） 天数（天） 企业1 9 32 企业2 5 45 企业3 4 37 4．5 问题4 模型建立与求解：

由于在调运过程中出现多条路中断，并且16号地区严重受灾，需要向其紧急调运物资。因此，在问题一图1的基础上删掉中断路线，得到的如下图所示路线,

15

171423162122188159284119251140531293039322627422420134312723101363433353837

图4 去掉中断路线后的路径图

171.1214161.041.00230.940.900.451880.470.63150.561.160.920.70110.400.440.3825221.44190.56261.400.60270.400.500.881.2471.000.601.601.00240.600.63201.36131.561.60121.04100.84430.902190.52410.9660.60400.520.0.600.350.47281.20291.24300.30391.27351.241.90.1350.501.401.061.043120.7030.801.0011.00320.901.200.80341.3638337.600.703736

图5 去掉中断路线后权值为时间的赋权图

由于16号地区严重受灾，因此我们在方案设计时优先考虑运输时间最短。在上图路线的基础

上，计算出各企业、仓库、储备库到16号地区的最短时间及路径，如下表所示，

表32 各企业、仓库、储备库到16号地区的最短时间及路径表 路径 单程时间（小时） 企业1 24-26-19-18-16 3 16

企业2 企业3 仓库1 仓库2 仓库3 仓库4 仓库5 仓库6 仓库7 仓库8 储备库1 储备库2 41-9-15-18-16 34-1-2-42-27-26-19-18-16 28-3-15-16 23-18-16 35-39-5-6-11-15-18-16 31-42-27-26-19-16 22-19-18-16 36-3-10-7-27-26-19-18-16 29-4-5-6-11-15-18-16 38-32-39-5-6-11-15-18-16 27-26-19-18-16 30-39-5-6-11-15-18-16 3 7 3 2 6 5 3 7 4 7 3 5 从上表我们可以看出仓库2到16地区时间最短为2小时，其次是企业1、企业2、仓库1、 仓库5、储备库1分别为3小时。由于是在调运中路线出现中断且16号地区严重受灾，此过程中，仓库库存量是在增加的，而企业库存可能减小，即仓库库存大于现有库存，企业库存可能小于现有库存。因此为了确保能满足16号区域的物资，我们考虑只从仓库和储备库向16号地区运送物资。又仓库1、2、5的现有库存量为700百件，16号需要1000百件，于是还需从储备库1调用300百件物资。

假设仓库1需a辆，仓库2需b辆，仓库3需c辆，仓库4需d辆。假设在运输过程中不考虑各仓库和储备库之间车辆的相互调用。我们建立线性规划模型，其中目标函数为车辆数量最少，即

minabcd，

约束条件为

0QTA524，

其中，Q为仓库1、仓库2、仓库5、储备库1所需调运物资数量，Q[200,270,230,300]；T为

1111T[8,6,8,8]；A[，，，]。车辆在仓库1、仓库2、仓库5、储备库1之间往返一趟的时间，

abcd求得各仓库所需车辆最少数以及需要的天数如下表所示，

表33 各仓库所需车辆最少数量以及需要的天数

仓库1 仓库2 仓库5 储备库1 总数 所需调运物资数（百件） 200 270 230 300 1000 车辆数（辆） 14 14 16 20 时间（天） 4.762 4.822 4.792 5 5．模型结果的分析与检验

问题1中，对于重点保证国家级储备库这一优先条件，即优先集结所有仓库和企业向两储备库调运，以时间最短作为最优，这对于保证某些地区是灾害频发区或者某些地区是国家重要保护区域有着实际应用意义，尤其适用于灾害频发的夏季和地质活动较频繁的年月。而在第十一天起，企业停止生产，让供应跟随着需求变化，及时调整生产计划，这符合实际的生产生活活动。在保证完储备库后，以费用最少且时间相对较少的方案为最优解，符合实际要求，既经济又有效。

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问题2中，在对问题1中所得方案的车辆进行分配时，没有考虑其转场之间的时间，其实际情况在某一线路卸掉完最后一趟物资后，车子将直接开往新的库源处，因此转场时间已经被计算到车子运送最后一趟物资返回的时间里，时间没有精确到小时，而是停留在趟次上，这符合实际物资运输的情况，利用逐步调整法，是在没有一确定解时寻找最优解的比较好用的方法，对于实际类似的调配情况较实用。

6．模型的推广与改进方向

7.1 模型的推广

（1）本文中用到的模型均可用于在有多个点的情况下，求两点之间费用最低、路程最短、时间最少之类的实际问题，尤其是利用matlab将实际问题抽象成一张图，并利用图论理论和方法进行求解。

（2）本模型虽然是针对救灾物资的调运问题所建立的，但可以运用到实际生活中，如解决物流的问题。

7.2 模型的改进

由于为了将实际问题简化，我们假设了一些条件，但是在实际这些假设可能是有些苛刻的。比如，在模型三中，为了简化问题并使最少车辆数能确保仓库储存量不大于最大储存量，在求解过程中我们先运送距离最远的，再运送较近的。而我们没有验证这样的车辆数就是最少的。因此改进模型，我们可以将所有情况考虑到，通过遍历来验证我们所求车辆数是否是最小的。

7．模型的优缺点

8.1 模型的优点

1、模型的建立过程中利用matlab图论工具箱，将实际的复杂的交通图转换为数学图，极大的简化了分析过程，提高了计算结果的准确性。

2、在模型三中，我们计算成本时不考虑车辆数和调运天数，然后根据最低成本对应生产量和调运量来求出最少车辆数和调运天数，这样利用线性规划容易计算出最低成本。

3、在模型四中，我们利用matlab图论工具箱建立删掉中断路线后的路径图，通过图我们能清楚的看到16号地区与企业、仓库、储备库之间的路线分布，并能方便的求出各点之间的最短时间和相应的最优路线。

8.2 模型的缺点

1、在问题1中我们假设的调配能力没有，因此调运所需的时间都能可以不考虑，在这种条件下，先重点保证国家级储备库中的储存量，因此可以认为时间为瞬时，企业没来得及生产，此时得到一种较优的分配方案。实际上，的调度能力都有一定的限度，因此在实际调运中，此方案不一定是较优的。

2、问题2中，在问题1的调运方案确定的情况下，我们对车子进行分配。其中，车辆在不同的库源地之间调配时间未考虑，不太符合实际情况，但是该时间较短，对结果的影响不大。

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3、在对车子进行方案分配时，我们最先进行粗略计算，得到一组解，再调整车子的分配，直到得到相对较优的一组解为止。而当实际生活中有一数据量较庞大的灾害发生时，将失去效率，计算量将很大。

4、在问题3中，为了使成本最低，我们只使仓库库存量达到预测库存量即可，没有使其达到最大库存量，这样就可能存在在灾害发生时物资不够用的情况。

5、在问题4中，我们为了降低运算量的复杂性，假设了不考虑在各仓库之间运货的车辆之间的互相调用，但这可能会使车辆的数量不是最少的。

参考文献

[1] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

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