逆向思维的常见启动方式

逆 向 思 维 常 见 启 动 方 式

王振君

(河北承德实验中学 067101)

逆向思维的核心是逆想，但具体到某个问题该怎么逆想，即逆向思维如何启动，这就要熟悉下述常见方式．

一 逆设

“逆设”即逆序设元、反向设量的意思．

例1 已知实数x,y满足x2xyy21，求x2y2的取值范围．

分析：将已知代入所求试图化为关于x或y的二次函数显然行不通，于是想到对已知进行三角代换，这很可贵．但若逆向意识强，不妨将所求设为R2进行三角代换，这比从已知条件直接代换简捷多了．

设xRcos,yRsin，代入已知得

R2cos2R2sincosR2sin21，

R22R22sin21，则有sin2即R， 22R22R2222sin21,11R2，

3R2∴x2y2的取值范围是[,2]．

例2 四个数成等差数列，若将此四数分别加上1、1、4、13，则成等比数列，求这四个数．

分析：如果直接从等差数列设元列方程组，非常不好解．这时不要拘泥于等差数列四个数的未知量如何选取，而应跳出来逆想一下，能否从等比数列设元求解．

即设等比数列四个数为a,aq,aq2,aq3，那么原来四个数依次为a1,aq1,aq24，aq3-13，则有

222(aq1)(a1)(aq4)aq2aqa33， 2322(aq4)(aq1)(aq13)aq2aqaq623两式相除得q2，从而a3， 则所求四个数为2、5、8、11．

二 逆用

“逆用”即对有关公式反过来用，这在解题时往往能出奇制胜．实际中许多三角公式我们就非常提倡逆用，因为这可以简化运算．

例3 在锐角ABC中，求证：tanAtanBtanC1．

分析：假设tanAtanBtanC1，由ABC1800得

tanAtanBtan(AB)(1tanAtanB)tanC(1tanAtanB)，

∴tanAtanBtanCtanAtanBtanC， ∴tanAtanBtanC1．

∵A,B,C均为锐角，∴tanA0,tanB0,tanC0，

1

故0tanA1,0tanB1,0tanC1，

80∴0A450,0B450,0C450，∴ABC1350，与ABC10矛盾，所以假设错误，

故总有tanAtanBtanC1成立．

显然，上述证明过程中，其中tanAtanBtan(AB)(1tanAtanB)，即为逆用两角和的正切公式．

三 逆证

“逆证”指许多证明题，可以反过来推导，比如反证法等．

例4 已知f(x)x2bxc(b,cR)，求证：|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|中至少有一个不小于

1． 2分析：：“反证法”本身就是一种逆向思维，而本题中又有“至少”、“不小于”等字眼，显然要反向思考．

1，则有 211311bc，即bc„„①， 222211191793bc，即3bc„„②， 2222115149„„③， 255bc，即5bc22222725[①+③]÷2得：3bc，这与②矛盾，

22假设|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|都小于

1． 2acosxbabab(xk,kZ)不可能介于 例5 已知ab0，求证：与之间。

ababacosxb故假设错误，从而可知|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|中至少有一个不小于分析：：见到“不可能”，首先想到反证．即假设

abacosxbab， 

abacosxbab则有

2ab(1cosx)acosxbab0， 0，即

(acosxb)(ab)acosxbab∵xk,∴1cosx0，又∵ab0，∴ab0,ab0， 从而可知acosxb0，即cosx同理由

b． aacosxbabbb0可得cosx，这与cosx矛盾．

acosxbabaaabacosxbab若假设，同样推出矛盾． abacosxbabacosxbabab故不可能介于与之间．

ababacosxb四 逆推

“逆推”即从欲求结论的反面出发，往回推导．

例6 当实数a3时，试确定aa1与a2a3的大小关系． 分析：因两者之间的大小关系无非有三种可能：

2

①aa1a2a3； ②aa1a2a3； ③aa1a2a3． 于是我们可以分类假定、逆向分析．

假若aa1a2a3成立，则有：aa1a2a3+

a

a3a2a1a2a(a3)(a3)(a2)2(a2)(a1)(a1)a23aa23a2a23aa23a202．

则假设成立，即①正确，且知②不成立。如果先假设③aa1a2a3成立，必然推出错误结果，同样可以得解．

五 逆解

“逆解”即明明要求A，而我们不直接求A，而改为求A的补集A，此即逆解．

例7 已知f(x)2x2(a2)x2a2a，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使得f(b)0，求实数a的取值范围．

分析：利用逆向思维，我们先求使f(x)在[0,1]上非正的a的范围，这不管其对称轴在什么位置，因抛物线开口向上，故只须满足如下条件即可：

22f(0)02aa02aa0a2或a1， 22f(1)0aa202(a2)2aa0则在[0,1]上至少有一个x使f(x)0的a的取值范围是：(2,1)．

数学学科的解题思想中的一个基本思想就是\"正难则反\以上提供一些逆向思维的基本策略,还望同仁

们指正.

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