【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.4.1 基本不等式的证明备考练习 苏教版

a＋b2

(a≥0，b≥0)

3．4.1 基本不等式的证明

一、基础过关

1．已知a>0，b>0，则11

a＋b＋2ab的最小值是________．

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．

①a2＋b2

>2ab ②a＋b≥2ab ③1a＋1b>2ab ④ba＋ab≥2

3．已知m＝a＋1a－2 (a>2)，n＝12

x2

－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是________．4．设02

5．若lg x＋lg y＝1，则2x＋5

y的最小值为________．

6．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中恒成立的是________．

①a＋b＋1ab≥22 ②(a＋b)11a＋b

≥4

③a2＋b2ab≥2ab ④2aba＋b>ab

7．设a、b、c都是正数，求证：bccaaba＋b＋c≥a＋b＋c.

8．已知x>y>0，xy＝1，求证：x2＋y2

x－y≥22.

二、能力提升 9．若a<1，则a＋

1

a－1

有最______(填“大”或“小”)值，为__________． 10．若对任意x>0，

xx2

＋3x＋1

≤a恒成立，则a的取值范围为________．

11．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则11x＋y的最大值为________．

12．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.

求证：a＋b＋c<111

a＋b＋c.

三、探究与拓展

13．已知a>b>0，求证：a2

＋16

ba－b≥16. 答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.2 6．①②③ 7．证明 ∵a、b、c都是正数，∴bc、

caab、abc也都是正数． - 1 -

∴

bca＋cab≥2c，cab＋abc≥2a，bcaba＋c≥2b， 三式相加得2bca＋cab＋abc

≥2(a＋b＋c)， 即bccaa＋b＋abc≥a＋b＋c. 8．证明 ∵xy＝1，

∴x2＋y2x－y2＋2xyx－y2＋2

x－y＝x－y＝x－y ＝(x－y)＋2

x－y≥2x－y·2

x－y ＝22.

当且仅当

x－y＝

2x－yxy＝1

，

6＋2

2即x＝时取等号．

y＝

6－22

9．大 －1 10.15，＋∞

11.1 12．证明 ∵11

a＋1

b≥2ab＝2c，

11

b＋1c≥2bc＝2a， 1

c＋1a≥21

ac＝2b，

∴21a＋1b＋1c

≥2(a＋b＋c)， 即11a＋b＋1

c≥a＋b＋c.

∵a，b，c为不等正实数，

∴a＋b＋c<111

a＋b＋c.

13．证明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.

∴a2＋16ba－b＝[(a－b)＋b]2

＋16ba－b ≥[2a－bb]2

＋16ba－b ＝4(a－b)b＋16

ba－b

≥4×2

a－bb×4

ba－b＝16.

取“＝”时当且仅当：a－b＝b>0且(a－b)b＝

4

ba－b>0，

- 2 -

即当a＝22且b＝2时“＝”成立． 方法二 ∵a>b>0，

2

∴a－b>0，b(a－b)≤a2a2＝4

，

当且a＝2b时取等号，

∴a2＋162

162ba－b≥a＋a2＝a＋a2

4≥2＝16.

当a＝22，b＝2时，等号成立．

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