高一数学函数的应用举例知识精讲

高一数学函数的应用举例

【本讲主要内容】

函数的应用举例

【知识掌握】 【知识点精析】

解函数应用问题的基本步骤： 第一步：阅读理解，审清题意。

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步：引进数学符号，建立数学模型。

一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。

第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果。 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答。

【解题方法指导】

例1. （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式。

（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式。

解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则ya(1p%)(xN*且xm) （2）设成本经过x年降低到y元，则ya(1p%)(xN*且xm)

特别提示：增长率问题是一重要的模型。

例2. “依法纳税是每个公民应尽的义务”。国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x， x全月总收入－800元，税率见下表： 级数 1 2 3 „ 9 全月纳税所得额 不超过500元部分 超过500元至2000元部分 超过2000元至5000元部分 „ 超过10000元部分 税率 5% 10% 15% „ 45% xx（1）若应纳税额为f(x)，设用分段函数表示1～3级纳税额f(x)的计算公式； （2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元； （3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于

用心 爱心 专心

A. 800～900元 C. 1200～1500元 B. 900～1200元 D. 1500～2800元

0x500。 500x200

2000x5000，

（1）解：依税率表，有第一段：x5%第二段：5005%(x500)10%第三段：(x2000)15%150010%5005%,0.05x即f(x)0.1(x500)250.15(x2000)175(0x500),(500x2000),(2000

x5000)。（2）解：这个人10月份应纳税所得额

x30008002200,f(2200)0.15(22002000)175205，即这个人10月份

应缴纳个人所得税205元。

（3）解法一：（估算法）由5005%25元，10010%10元，故某人当月工资应在1300～1400元之间，故选C。

解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为

，5005%20010%45（元）。可排除A、B、D，故选C。 4005%20（元）

答案：C

评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算。 特别提示：

分段函数在新课标中占有重要地位。

例3. 某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时，本年度计划将电价降到0.55元/（千瓦·时）至0.75元/（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元/（千瓦·时）。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/（千瓦·时）

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？[注：收益=实际用电量×（实际电价－成本价）]

解：（1）设下调后的电价为x元/（千瓦·时），依题意知用电量增至力部门的收益为y(kx0.4a)(x0.3)(0.55x0.75)

kx0.4a，电

0.2aa)(x0.3)[a(0.80.3)](120%),(（2）依题意有x0.4

0.55x0.75x1.1x0.30,整理得

0.55x0.75。2解此不等式得0.60x0.75。

用心 爱心 专心

答：当电价最低定为0.60元/（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%。

【考点突破】

【考点指要】

本部分内容属高考重点考查内容，近几年多为选择题，分值10～15分。关键是数学建模，考查学生分析问题、解决问题的能力。

【典型例题分析】

例1. （1）某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价 （ ） A. 10%

B. 9%

C. 11%

D. 1119%

答案：D

（2）用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 答案：A

（3）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN)的关系为yx12x25，则每辆客车营运_________年可使其营运年平均利润最大。 （ ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 答案：C

（4）某地区上年度电价为0.8元/（千瓦时）年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降到0.55元/（千瓦时）至0.75元/（千瓦时）之间，而用户期望电价为0.4元/（千瓦时）。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/（千瓦时）。若设k0.2a，当电价最低定为_______时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

[注：收益=实际用电量×（实际电价－成本价）] 答案：0.60元/（千瓦时）

3（5）建筑一个容积为8000m、深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/米，

22池底造价为2a元/米，总造价最低是____________元。

答案：16030a80003a元。

2例2. （2004年福建高考，理）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(112n)万元（n为正整数）。

（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（需扣除技术改造资金）求An、Bn的表达式。

用心 爱心 专心

（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

思路点拨：（1）An、Bn是年数n的函数，又由于An、Bn都是“累计纯利润”，所以要分别进行数列求和。

（2）实际上就是求BnAn0时n的最小值。

2解：（1）依题设，An(50020)(50040)(50020n)490n10n；

Bn500[(112)(1122)(112n)]600500n5002n100。

（2）

BnAn(500n5002n100)(490n10n)10n2210n5002n10010[n(n1)502n10]。

∵函数yn(n1)502n10在(0,)上为增函数， 502n当1n3时，n(n1)当n4时，n(n1)502n10125016508100；

1020100。

∴仅当n4时，BnAn。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

例3. 为降低人员成本，提高经济效益，有一家公司准备裁减人员。已知这家公司现有职员2m人（1602m630，且m为偶数），每人每年可创利n万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的

34，为

获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

思路点拨：解决此题有两个关键的步骤：一是将公司获得的最大经济效益与职员数建立起联系——即建立函数模型；二是在求函数的最值时，要对题中已知条件的两个字母m和n进行必要的讨论，这样才能最后确定裁员多少人。

解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2mx)(n0.02nx)0.8nx， 整理得yn50[x22(m45)x]2mn， [x2则二次函数y∵n500。

n502(m45)x]2mn的对称轴方程为xm45，

∴当xm45时，函数y是递增的；

用心 爱心 专心

当xm45时，函数y是递减的。

∵“该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的∴2mx∴0xm2342m。

34”，

。

m2∵m为偶数，∴为整数。

又∵1602m630，

∴80m315。 （1）当0m45值。如下图所示。

m2即45m90，即80m90时，xm45，y取最大

（2）当m45m2，即90m315时，xm2，y取到最大值。如下图所示。

综上所述，当80m90时，应裁员(m45)人。当90m315时，应裁员公司才能获得最大的经济效益。

m2人，

【达标测试】

1. 某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）

A. 10% B. 9%

C. 11%

D. 1119%

2. 今有一组实验数据如下： t 1.99 v3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 1.5 用心 爱心 专心

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）

A. vlog22t B. vlog12t

C. vt12 D. v2t2

3. 用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为

A. 3 B. 4 C. 6 D. 12

4. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程。用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是（ ）

5. 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为________。

6. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN)的关系为yx12x25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大。

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

7. 某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为_______________。 （lg20.3010,lg11.491.0602）

8. 某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)4Q1200Q，则总利润L(Q)的

22用心 爱心 专心

最大值是____________万元，这时产品的生产数量为____________。（总利润=总收入－成本） 9. （2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元。从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元。

（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？ 10. （2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为

y920vv23v1600(v0)。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 11. （2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成。每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置。现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加．．．．工一种装置。设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)（单位：小时，可不为整数）。

（1）写出g(x),h(x)的解析式；

（2）比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式： （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

12. 现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：

Wish you success，分组为Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到

23919，825，152121319，，，，193519， 其中英文的a,b,c，„，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，„，26这26个自然数，见表格： a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26 给出如下一个变换公式

x'x2y,将明文转换为密文。如 y'3x4y。用心 爱心 专心

3x'3251313。 ,即ce变成mc（说明：29：26余数为3）5y'334529323又如9x'23294115→，即wi变成oa（说明：4126余数为→y'32349105115，105：26余数为1）。

（1）按上述方法将明文star译成密文；

（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文。

13. （2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺等一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%。设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由。

【综合测试】

1. （2005年北京西城模拟）某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：

①一次购物不超过200元，不予以折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠。

某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）

A. 608元 B. 574.1元 C. 582.6元 D. 456.8元

2. （2004年北京东城模拟）某饭店有n间客房，客房的定价将影响住房率，每天客房的定价与每天的住房率的关系如下表： 每间客房的定价 90元 80元 70元 60元 每天的住房率 65% 75% 85% 90% 要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为（ ） A. 90元 B. 80元 C. 70元 D. 60元

3. （2003年湖北模拟）国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的

用心 爱心 专心

状况，它的计算公式nxy（x：人均食品支出总额，y：人均个人消费支出总额），且

y2x475，各种类型家庭如下：

家庭类型 n贫困 n59% 温饱 50%n59% 小康 40%n50% 富裕 30%n40% 李先生居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，该家庭在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于（ ）

A. 贫困 B. 温饱 C. 小康 D. 富裕 4. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)1.06(0.50[m]1)给出，其中

m0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]4,[2.7]3,[3.8]4，则从甲地到乙地

通话时间为5.5分钟的话费为（ ） A. 3.71 B. 3.97 C. 4.24 D. 4.77

5. 某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

y300020x0.1x(0x240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不

2亏本时（销售收入不小于总成本）的最低生产量是（ ）

A. 100台 B. 120台 C. 150台 D. 180台

6. 如下图，B地在A地正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A. (272)a万元 C. (271)a万元

B. 5a万元 D. (233)a万元

13 7. 液晶电视机成本不断降低，若每隔3年电视机价格降低，现在价格为8100元的液晶

用心 爱心 专心

电视机，则9年后的价格为（ ） A. 2400元 B. 900元 C. 300元 D. 3600元 8. 某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%。则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是___________年。（已知

lg20.3010,lg30.4771)（ ）

A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018

9. 按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率为b%，x年后支取，则本利和应为（ ）

A. a(1b%)C. a(1b%)x1万元 万元

B. a(1b%)万元 D. a[1(b%)]万元

xxx1 10. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口为____________。

11. 一种产品的原成本为a元，在今后m年内计划使成本每年比上一年下降p%。成本y（元）随经过的年数x变化的函数关系式为____________。

用心 爱心 专心

达标测试答案

1. 解析：设提价x%，则a(110%)(1x%)a,x11D

2. 解析：特值检验，如：当t4时，vC

3. 解析：设隔墙的长为x(0x6)，矩形面积为y,yxx3时，y最大。

244x22x(6x)，∴当

t219。

127.5。

A 4. D

x 5.y＝0.9576100

x2 6. 解析：设年平均利润为g(x)，则g(x)12x25x12(x25x)。

∵x25x2x25x10，

∴当xC

25x，即x5时，g(x)max2。

7. 解析：设产值平均年增长率为x，则(1x)104。

两边同取以10为底的对数得10lg(1x)2lg2。 ∴lg(1x)∴1x1020.3010100.0602。

0.0602。

又∵lg11.491.0602， ∴11.4910∴100.06021.060210100.0602

1.149

因此1x1.149,x0.14914.9%。 14.9%

8. 解析：L(Q)4Q1200Q2(200Q)1200(Q300)2250

用心 爱心 专心

250 300

9. 分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力。

（1）解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为(318060x)万元，而该村第x年的人口总数为(1480ax)人，

∴y318060x1480ax(1x10)

（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1x10内，yf(x)为增函数。

设1x1x210，则

f(x1)f(x2)3180148060x1ax13180148060x2ax2

=

601480(x1x2)3180a(x2x1)(1480(88800(1480ax1)(1480ax2)

=

3180a)(x1x2)ax1)(1480ax2)。

∵1x1x210,a0

∴由f(x1)f(x2)，得888003180a0。 ∴a88800318027.9。

又∵aN*， ∴a27。 解法二：∵y60a(53x1480ax)

=

60a53[1x1480a1480a]，

依题意得53∴a1480531480a0

27.9。

∵aN*， ∴a27。

答：该村每年人口的净增不能超过27人。

用心 爱心 专心

10. 解：（1）依题意，y9203(v1600v)92032160092083，

当且仅当v1600v，由v40时，上式等号成立，所以ymax920v10

95083。 11.1（千辆/时）

（2）由条件得

v223v1600整理得vv16000，

即(v25)(v)0，解得25v。

∴当v40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时。如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于km/h。 11. 解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216x）人。

∴g(x)40006x,h(x)3000(216x)3，

即g(x)20003x，h(x)20003x1000216x1000(0x216,xN*)。

1000(4325x)（2）g(x)h(x)∵0x216，

∴216x0，

216x3x(216x)。

当0x86时，4325x0,g(x)h(x)0,g(x)h(x) 当87x216时，4325x0,g(x)h(x)0,g(x)h(x)

2000,0x86,xN*,3x∴f(x)

1000,87x216,xN.216x（3）完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值。 当0x86时，f(x)递减， ∴f(x)f(86)20003861000129。

∴f(x)minf(86)，此时216x130 当87x216时，f(x)递增，

用心 爱心 专心

∴f(x)f(87)1000216871000129。

∴f(x)minf(87)，此时216x129 ∴f(x)minf(86)f(87)1000129。

∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129。 12. 解：（1）将star分组：st，ar，对应的数组分别为191,2018， x'19220x'1218x'＝x2y,711，。 由得→→y'31418y'3x4y。y'319420723∴star翻译成密文为ggkw。

x2x'y',x'＝x2y,（2）由得3y'

x'。y'3x4y。y22x＝2x'y',，由3y'得 x'。y221123,将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为39191537,30∴kcwi对应明文是good。  13. 剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果。第（2）问应注意的是年工资总量第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为

cn1270230n20001.05n1，需要转化为cncn1,cncn1，则cn最大。

公司第n年的月工资数分别为

(15%)n1解：（1）此人在

an＝1500A、B

230(n1)(nN*),bn2000(nN*)。

（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(a1a2a10)304200（元）；若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入

（元）。

总量为12(b1b2b10)301869因为在A公司收入的总量高些，因此该人应选择A公司。 （3）问题等价于求cnanbn1270230n20001.05当n2时，cncn12301001.05当cncn10，即2301001.05n2n2n1(nN*)的最大值。

。

n20时，1.052.3，得n19.1。

用心 爱心 专心

因此，当2n19时，cn1cn；当n20时，cncn1。

∴c19是数列cn的最大项，c19a19b19827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元。

【综合测试答案】

1. C

解析：购物付款432元，实际标价432109如一次购买标价176480656480元，

元的商品应付款5000.91560.85582.6元。 2. B

解析：由题意有9065%58.5（元）， 8075%60（元） 7085%59.5（元） 6090%54（元） 故选B。 3. D

解析：设98年人均食品消费x元，则2002年人均食品支出：x(17.5%)92.5%。2002年人均消费支出：292.5%x475由题意有：292.5%x475752x475。

x500。n92.5%x292.5%x4750.330433.04%。

4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B

10. 1200.6万

11. ya(1p%)(xN1xm)

x用心 爱心 专心