2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）. 1．下面调查中，适合全面调查的是（ ） A．我市初中生的身高情况 B．乘坐地铁的安全检查
C．东钱湖景区全年的游客流量 D．某品牌水笔笔芯的使用寿命
2．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000048cm的小洞．数0.0000048用科学记数法表示为（ ） A．4.8×105
B．4.8×10﹣6
C．4.8×10﹣7
D．48×10﹣7
3．下列运算正确的是（ ） A．a5﹣a2＝a3 C．（a+3）2＝a2+9
B．a10÷a2＝a5 D．（a2）3＝a6
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（ ） A．a（4﹣y2）＝4a﹣ay2
B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1 C．4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy 5．要使分式A．x≠4
有意义，x的取值范围满足（ ）
B．x＝4
C．x＞4
D．x＜4
6．如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
7．如图，直线a、b被直线l所截，且a∥b，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．140° B．120° C．60° D．30°
8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A．C．
B．D．
9．若关于x，y的二元一次方程组为（ ） A．﹣3
B．3
的解，也是二元一次方程2x+y＝3的解，则k
C． D．
10．如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH2＝AB×BH．设AB＝a，BH＝b．若ab＝45，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．25 B．26 C．28 D．30
二、填空题（每小题3分，共24分）． 11．2﹣1＝ ． 12．因式分解：a2﹣2a＝ ．
13．将方程4x+3y＝6变形成用y的代数式表示x，则x＝ ． 14．将50个数据分成3组，其中第一组和第三组的频率之和为0.7，则第二小组的频数
是 ．
15．已知3a﹣b＝0，则分式
的值为 ．
16．将一副三角板按如图摆放，已知直线m∥n，则∠1的度数为 ．
17．若关于x的分式方程＝2﹣有增根，则a的值为 ．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为5＝22+12，所以5是一个完美数．已知M＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 ． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19．因式分解： （1）a2﹣4b2； （2）﹣x2+6xy﹣9y2． 20．先化简，后求值：
（1）x（4x+2）﹣（2x﹣1）（2x+1），其中x＝﹣3； （2）
÷（1﹣
）先化简，再选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21．解下列方程（组）： （1）（2）
； ．
22．乐善好施、扶贫帮困是中华民族的传统美德，在建党100周年之际，某校举行了一次爱心捐款活动．为了解捐款情况，小亮抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成统计图．
请根据图中信息回答问题： （1）求m、n的值． （2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，表示5元的扇形的圆心角是多少度？
（4）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数． 23．如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3． （1）证明：AB∥CD；
（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．
24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
参
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下面调查中，适合全面调查的是（ ） A．我市初中生的身高情况 B．乘坐地铁的安全检查
C．东钱湖景区全年的游客流量 D．某品牌水笔笔芯的使用寿命
解：A．调查我市初中生的身高情况、物力和时间较多，适合抽样调查，故A选项不合题意；
B..乘坐地铁的安全检查，适于全面调查，故B选项符合题意；
C..调查东钱湖景区全年的游客流量，物力和时间较多，适合抽样调查，故C选项不合题意；
D．调查某品牌水笔笔芯的使用寿命，适合抽样调查，故D选项不合题意； 故选：B．
2．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000048cm的小洞．数0.0000048用科学记数法表示为（ ） A．4.8×105
B．4.8×10﹣6
C．4.8×10﹣7
D．48×10﹣7
解：0.0000048用科学记数法表示为4.8×10﹣6． 故选：B．
3．下列运算正确的是（ ） A．a5﹣a2＝a3 C．（a+3）2＝a2+9
B．a10÷a2＝a5 D．（a2）3＝a6
解：A．a5与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意； C．（a+3）2＝a2+6a+9，故本选项不合题意； D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意． 故选：D．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（ ）
A．a（4﹣y2）＝4a﹣ay2
B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1 C．4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
解：A，B，D选项的等号右边都是差的形式，不是积的形式，不符合题意；
C选项，原式＝（2x）2﹣2•2x•3y+（3y）2＝（2x﹣3y）2，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：C． 5．要使分式A．x≠4
有意义，x的取值范围满足（ ）
B．x＝4
C．x＞4
D．x＜4
解：由题意可知：x﹣4≠0， ∴x≠4， 故选：A．
6．如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
解：∵△ABC沿直线m向右平移2cm得到△DEF， ∴AC∥DF，AB＝DE，CF＝AD＝BE＝2cm． 故选：D．
7．如图，直线a、b被直线l所截，且a∥b，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．140° 解：如图，
B．120° C．60° D．30°
∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠3＝∠1＝60°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝120°， 故选：B．
8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A．C．
B．D．
解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝故选：A．
9．若关于x，y的二元一次方程组为（ ） A．﹣3 解：①+②，得 2x+y＝9k，
将2x+y＝9k代入二元一次方程2x+y＝3得， 9k＝3， 解得k＝，
，
B．3
C．
D．
的解，也是二元一次方程2x+y＝3的解，则k
，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH2＝AB×BH．设AB＝a，BH＝b．若ab＝45，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．25 B．26 C．28 D．30
解：∵AH2＝AB×BH．AB＝a，BH＝b， ∴（a﹣b）2＝ab，
而（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴（a+b）2＝5ab， 又ab＝45， ∴（a+b）2＝225，
∴a+b＝15，（a＞0，b＞0，a+b＝﹣15舍去） 阴影部分周长为2a+2b＝2（a+b）＝30， 故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）． 11．2﹣1＝
．
解：2﹣1＝， 故答案为：．
12．因式分解：a2﹣2a＝ a（a﹣2） ． 解：a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）．
13．将方程4x+3y＝6变形成用y的代数式表示x，则x＝ ．
解：4x+3y＝6， 4x＝6﹣3y， x＝
，
．
故答案为：
14．将50个数据分成3组，其中第一组和第三组的频率之和为0.7，则第二小组的频数是 15 ．
解：根据频率的性质，得
第二小组的频率是0.3，则第二小组的频数是50×0.3＝15． 15．已知3a﹣b＝0，则分式解：∵3a﹣b＝0， ∴b＝3a， ∴
＝
＝．
的值为
．
故答案为：．
16．将一副三角板按如图摆放，已知直线m∥n，则∠1的度数为 15° ．
解：延长AB交直线n于点C，
∵m∥n，
∵∠DCA+∠EAB＝180°， ∵∠EAB＝60°，
∴∠DCA＝180°﹣∠EAB＝120°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABE﹣∠DBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故答案为：15°． 17．若关于x的分式方程
＝2﹣
有增根，则a的值为 4 ．
解：方程两边同时乘（x﹣3）得：x+1＝2（x﹣3）+a， 解得：x＝7﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴7﹣a＝3， ∴a＝4， 故答案为：4．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为5＝22+12，所以5是一个完美数．已知M＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 13 ． 解：M＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）+k﹣13 ＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13， ∵M为完美数， ∴k﹣13＝0， ∴k＝13， 故答案为：13．
三、解答题（共6小题，满分46分） 19．因式分解： （1）a2﹣4b2； （2）﹣x2+6xy﹣9y2． 解：（1）a2﹣4b2 ＝a2﹣（2b）2
＝（a+2b）（a﹣2b）；
（2）﹣x2+6xy﹣9y2 ＝﹣（x2﹣6xy+9y2）
＝﹣（x﹣3y）2． 20．先化简，后求值：
（1）x（4x+2）﹣（2x﹣1）（2x+1），其中x＝﹣3； （2）
÷（1﹣
）先化简，再选择一个合适的数作为x的值代入求值．
解：（1）原式＝4x2+2x﹣（4x2﹣1） ＝4x2+2x﹣4x2+1 ＝2x+1， 当x＝﹣3时， 原式＝﹣5． （2）原式＝＝
，
由分式有意义的条件可知a不能取1，2，﹣2， 当a＝0时， ∴原式＝
．
21．解下列方程（组）： （1）（2）解：（1）
①×3+②，得10x＝20， 解得：x＝2，
把x＝2代入①，得2+y＝3， 解得：y＝﹣1， 所以原方程组的解是 （2）
，
；
； ．
方程两边都乘以（x﹣3），得x﹣4（x﹣3）＝﹣3， 解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0， 所以原方程的解是x＝5．
22．乐善好施、扶贫帮困是中华民族的传统美德，在建党100周年之际，某校举行了一次爱心捐款活动．为了解捐款情况，小亮抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成统计图．
请根据图中信息回答问题： （1）求m、n的值． （2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，表示5元的扇形的圆心角是多少度？
（4）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数． 解：（1）∵被调查的总人数为12÷20%＝60（人）， ∴m＝
（2）捐款10元的人数为60﹣（12+15+9+6）＝18（人）， 补全条形图如下：
×100%＝25%，n＝
×100%＝15%；
（3）表示5元的扇形圆心角度数为：360°×
（4）估计全校捐款额不少于15元的学生人数为1200×23．如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3． （1）证明：AB∥CD；
（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．
＝720（人）．
＝36°；
【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD．
（2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝34°，
∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝34°+90°＝124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣124°＝56°， ∵BC平分∠ABD，∠1＝∠3． ∴
．
24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元， 依题意得：解得：
．
，
答：甲种免洗手消毒液的单价为12元，乙种免洗手消毒液的单价为20元． （2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶， 依题意得：12a+20b＝4000， 化简得：3a+5b＝1000，
∴
答：这批消毒液可使用10天．
（天）．
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶， 依题意得：300m+500n+20（m+n）＝9600， ∴化简得：m＝30﹣∵m，n均为正整数， ∴
或
．
n．
∵要使分装时总损耗20（m+n）最小， ∴
，
即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．
