人教A版高中数学必修五《数列》知识梳理练习

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）

1、数列的定义：一列有________的数称为一个数列。（注：有顺序不等同于有规律）

2、数列的一般记号：a1，a2，a3，…an，…简记为_______,其中an是数列的第___项，也叫______。 3、数列的通项公式：是指用_____（n为正整数）表示an的等式，即an=f（n）。

显然数列是以___为自变量____为因变量的函数。其图像是对应函数图像上的一些

_________的点。

通项公式的作用：把n用1，2，3，…代入可以求出所有项；还可以根据它研究这个数列的性质如单调性。 4、数列的递推公式：连接数列中任意两项或多项之间的等式，也可以是an与Sn之间的等式。 如a1=1，an+1=2an+1；如a1=1，an=a1+2a2+3a3+…(n－1)an－1（n≥2）；如Sn=2an+1。

它的作用与数列的通项公式基本相同。不同的是要求a2必先求a1，要求a3必先求a2，…

6、等差数列与等比数列的对比 定义 等差数列 a2―a1=a3―a2=…=an―an―1=an+1―an=……＝d（常数） 或an+1―an=d（常数） an―an―1=d（常数）（n≥2） an=a1+(n－1)d an=am+(n-m)d 等比数列 a2a3a1a2或an1q（常数） anaan1q（常数）nq（常数）（nan1an－≥2） 通项公式 an=a1×qn1 －an=amq (n1) （nn1）a1an Snna1dn 前n项求和公式 22 d2dn(a1)n 22na1，q1nSna （11q）a1anq，q11q1qq≠1时，Sn=A-Aqn. am×an=ap×aq (m+n=p+q) Sn，S2n－Sn，S3n－S2n… 是等比数列 奇数项与偶数项各成公比为q2的等比数列 a，b，c成等比数列，称b是a，c的等比中项，有b2=ac（反之不成立） 性质 am+an=ap+aq (m+n=p+q) Sn，S2n－Sn，S3n－S2n… 是等差数列 奇数项与偶数项各成公差为2d的等差数列 a，b，c成等差数列，称b是a，c的等差中项b―a=c―b2b=a+c. 其他 练习2、（1）已知{an}是等差数列且S12=20，S24=30，求S36.

(2) 已知{an}是等比数列且S12=20，S24=30，求S36。

练习3、（1）直角三角形的三边a，b，c成等差数列，求两锐角的正弦值。

（2）直角三角形的三边a，b，c成等比数列，求两锐角的正弦值。

8、关于等差数列中Sn的最值问题 （1）函数性质法：根据Snd2dn(a1)n可知，当d＞0时，Sn有最小值； 22当d＜0时，Sn有最大值。

（2）正负项分析法：根据等差数列的单调性及Sn定义知，把数列中的所有正项相加得到Sn的最大值；所有负项相加得到Sn的最小值。 这种解法的关键是找到符号不同的相邻两项。

练习5、⑴已知等差数列{an}满足a1＞0，3a4=2a9，求Sn取最大值时n的值。

⑵已知等差数列{an}满足a1＜0，S7 = S10，求Sn取最小值时n的值。

9、判断数列{an}为等差数列的方法： 判断数列{an}为等比数列的方法：

－

⑴an=An+B（A，B为常数）； ⑴an=Aqn1（A，q为非零常数）； ⑵Sn=An2+Bn（A，B为常数）； ⑵Sn=A－Aqn（A，q为非零常数）； ⑶an+1－an=d（d为常数）； ⑶

an1q（q为常数）; an（4）an+2+an=2an+1. (4)an+2an=an+12(an+1≠0) 练习6、（1）已知数列{an}中a1=1，an2an11，求证数列{}是等差数列；并求通项an。

an12an

2）已知关于x的二次方程anx2－an－1x + 1= 0的两根为α，β满足6α－2αβ+ 6β= 3，a1=1。 （I）用an表示an+1；（II）求证：{an}是等比数列；（III）求{an}的通项公式。

10、对称设法：三个数成等差数列时，可设这三个数为：ad，a，ad

三个数成等比数列时，可设这三个数为：，a，aq。

练习7、已知四个数，前三个数成等比数列，和为19；后三个数列成等差数列和为12，求这四个数。

11、求数列{an}的前n项和的方法：观察其通项公式的特点，选择对应的求和方法。

n⑴公式法：anAnB或anAq（注：讨论公比q是否为1）

23aq 练习求和：1+ x + x2 + … + xn （x≠0）

n⑵分组求和法： an(AnB)cq

3，　5，　； 练习8、⑴求数列的前n项和：1，　

121418⑵an=3×2n －1，求前n项和Sn。

n⑶错位相减法：an(AnB)q，an=等差数列×等比数列

练习9、已知数列{an}的通项公式为 an⑷裂项相消法：

2n1，求Sn。 n31111() abbaab2，求Sn。 2n4n3练习10、数列{an}中an

12、根据数列的递推公式求数列的通项公式

⑴型如：an1anf(n)的用累加法； 练习11、已知数列{an}满足a11，anan1ln

⑵型如：an1anf(n)的用累乘法；

练习12、已知数列{an}满足a11，nan(n1)an1（n≥2），求an。

⑶型如：an1AanB的用构造法；

练习13、已知数列{an}满足a11，an3an14（n≥2），求an。

⑷型如：f(an,Sn)0的用消元法；

练习14、已知数列{an}满足a11，Sn2ann，求an。

n（n≥2），求an。 n1