20XX年大学高等数学高数期末考试试卷及答
案 (3)
20XX学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类） 一．填空题（每空2分）
1．已知0→x 时， 1)1(312-+x 与1cos -x 为等价无穷小量，则=
2．函数216ln x x y -+=的定义域为 3. 已知10)0('=f ，则x
x f x f x )()2(lim 0-→= 。 4．已知x x y 3cos 31 sin +=在3π=x 处有极值，则= 5．设)3cos(x y =，则)12(y = 。 6．若等式)34(x d dx -=成立，则=
7．设收益函数201.0150)(x x x R -=（元）,当产量100=x 时，其边际收益是 。
8．由曲线)(θr r =及射线βθαθ==,所围的曲边扇形面积公式为 。
9．设曲线的参数方程为??
?==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则弧长公式为 。 10．53)1(lim e x k x x =+∞→，则=k 二．选择题（每题3分） 1．当0→x 时，x e x sin 1--是2
x 的 无穷小。 . 低阶； B. 高阶； C. 等价； D. 同阶非
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等价；
2．设x x x f -+=22)(在区间),(+∞-∞内是 。 偶函数 B.单调增函数 C.有界函数 D.单调减函数 3．设)
1(1)(2--=x x x x f ，则x=1是)(x f 的 间断点。 ．第二类间断点； B.可去； C.跳跃；
4．函数)(x f 在0x 处左、右连续是)(x f 在0x 处连续的 。 ．必要条件； B.充分条件； C.充分必要条件； D.都不是； 5．?+=c e
x dx x f x 22)(，则)(x f = . x xe 22 B. x e x 222 C. c xe x +22 D. )1(22x xe x +
三．解答下列各题（第9题10分,其余每题5分） 1．20XXlim 22x dt e t x t x ?+→ 2. 设sin x y x =，求dy 3.?--+dx e e x x
1 4. ?xdx ln 5. ?-2 022
dx x 6. ?+∞
-1dx xe x 7. 确定 、b 的值，使函数???≤>+=1 ,1,)(2x x x b x x f 在定义域内可导。 8.求由方程0333=-+xy y x 确定的隐函数)(x y y =的导数
dx dy 9. 设某厂每批生产某种商品的固定成本为200（百
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元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数p Q 2100-=（其中p 为价格，Q 为产量），这种产品在市场上是畅销的。
（1）试分别列出该商品的总成本函数)(p C 和总收益函数)(p R 的表达式。
（2）求出使该商品的总利润最大的产量和最大利润。 （3）求出需求弹性。
（4）p 为何值时，需求函数p Q 2100-=达到单元弹性需求？
10. 求函数23)32()1(+-=x x y 的极值。 四 ．证明下列各题（每题5分） 1．证明方程：0133
=+-x x 在区间（1，2）内只有一个实根。 2． 证明不等式：b b -≤-sin sin
参：
20XX学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类） 一．填空题（每空2分） 1．= -3/2；2. (0,4) 3. x
x f x f x )()2(lim 0-→= 10; 4.= 3; 5.)12(y =)3cos(312x 6．= -3; 7．148; 8．?βα θθd r )(212。9
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．βα?。10．=k 5/3 二．选择题（每题3分） 1．d; 2. ; 3.b; 4.c; 5.d
三．1．414lim 2lim 422200==?+→x
xe x dt e t x x t x 2.x x y ln sin ln =;sin sin (cos ln )x x dy x x x x =+
3.?--+dx e e x x 1c e e de x x x
++=+-=---?)1ln(11 4. ?xdx ln ?+-=-=c x x x dx x x ln ln 5.?-2 022 dx x )4
36()2sin(2/1())2cos(1(6060+=+=+=?π?θππ dx x 6. ?+∞
-1dx xe x 1112)(lim lim ---+∞→-+∞→=--=-=?e e xe xde b x x b b x b 7. 2
11lim()lim()11x x x b x b +-→→+==?+=，21111lim lim 2111x x x b x b x x +-→→+--=?=?=--- 8.2 22
2333()0y x x y y y xy y y x -'''+-+=?=- 9. . 总成本函数为：p Q Q C 107005200)(-=+=；
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总收益函数为：2 2100)(p p Q p p R -=?=
b. 总利润函数为2()()()2110700;()4110L p R p C p p p L p p '=-=-+-=-+
令()0,27.5,45(27.5)40,L p p Q L '''====-，至多有一个实根，故得证。
2．证明 设x x f sin )(=，若 b =,显然成立。不妨设 b <,则()f x 在[,] b 上连续，在(,) b 内可导，由定理得： (,),()()()() b f b f f b ξξ'?∈-=-使：
即sin sin cos ()b b ξ-=?-，1cos ≤ξ，得证
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