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第二讲 平行线的性质及平移
教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点）
2.平行线中添加辅助线和动点问题 3.平行线的性质和实际运用
教学过程：
请同学们回顾下平行的判定方法！ 判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
性质: (1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等; (3)两直线平行,同旁内角互补.
1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．60° B．50° C．40° D．30°
第1题图 第2题图
2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( )
A．120° B．130° C．140° D．150° 填空题
4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)
1
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第4题图
第5题图
5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°. 6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________．
第6题图 第7题图
7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°.
8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°.
第8题图 第9题图
9. 如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．
1.C
2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等． 3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可． 4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.70 6．内错角相等，两直线平行7.20
8．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°.
9．270
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平行线中添加辅助线问题：
◆类型一 含一个拐点的平行线问题
1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A．30° B．32° C．42° D．58°
第1题图
2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( ) A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°
3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
第2题图
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？
◆类型二 含多个拐点的平行线问题
4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为( ) A．20° B．30° C．40° D．70°
3
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第4题图 第5题图
5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．
6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．
已知：______________，结论：______________． 解：
7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线． (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．
参与解析
1．B 2.B
3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.
(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠
G＋∠GFH＋∠H＝360°.
4．B 解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.
5．140° 解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥
CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
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6．解：①② ③ ∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．
7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P向右作PN∥CD.∵
AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
平行线间的动点问题：
1.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° (1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；
(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．
证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE， ∵∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠ACD=180， ∴AB∥CD；
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（2）∠BAE+∠MCD=90°；
过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=∠ECD， ∴∠BAE+
∠MCD=90°；
（3）如图3：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°， ∴∠BAC=∠PQC+∠QPC； 如图4：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACQ
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．解析：
（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；
（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+
∠MCD=90°；
（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系 举一反三：
2.如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF． (1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由． (3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否
(2)求∠DBE的度数． 存在某种情况，使∠BEC=
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∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
（1）AD∥BC． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC=180°， 又∵∠A=∠C ∴∠ADC+∠C=180°， ∴AD∥BC；
（2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=180°-∠C=80°， ∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF， ∴∠DBE=
（3）存在．
解：设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°． ∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE=x°+40°； ∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=80°， ∴∠ADB=80°-x°． 若∠BEC=∠ADB， 则x°+40°=80°-x°， 得x°=20°．
∴存在∠BEC=∠ADB=60°． 解析：
（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°，即可证得AD∥BC； （2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=即可求得∠DBE的度数．
（3）首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．
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∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°；
∠ABC，
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课后提升 1.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G.若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝55°.(2分)由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝55°，∴∠1＝180°－2×55°＝70°.(6分)∵AD∥BC，∴∠2＝180°－∠1＝110°.(8分)
2.如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？为什么？
解：∠P＝∠Q.(2分)理由如下：∵∠ABC＋∠ECB＝180°，∴AB∥ED，∴∠ABC＝∠BCD.(5分)∵∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠PBC＝∠BCQ，∴PB∥CQ，(8分)∴∠P＝∠Q.(10分)
3.如图，已知∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°. (1)试说明：MD∥NE；
(2)若∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
解：(1)如图，过A向左作AF∥MD.(1分)∴∠MBA＋∠BAF＝180°.(3分)∵∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°，∴∠FAC＋∠NCA＝180°，∴AF∥NE.(4分)∵AF∥MD，∴MD∥NE.(5分)
(2)
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如图，过P向左作PQ∥MD，由(1)知MD∥NE，∴PQ∥NE.(6分)∵BP平分∠ABD，∴∠DBP＝
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∠ABD＝35°.同理可得∠PCE＝∠ACE＝18°.(8分)∵PQ∥MD，PQ∥NE，∴∠BPQ＝∠DBP＝35°，∠CPQ2＝∠PCE＝18°，∴∠BPC＝∠BPQ＋∠CPQ＝53°.(10分)
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4.AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合)．∠ABC=n°，∠ADC=80°． (1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；
(2)将(1)中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示)；若不变，请说明理由．
解：（1）过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°， ∴∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；
（2）∠BED的度数改变， 过点E作EF∥AB，如图，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°， ∴∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=40°，
∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴n°．解析：
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（1）过点E作EF∥AB，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可；
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=40°，根据
（2）过点E作EF∥AB，根据角平分线定义得出∠ABE=平行线性质得出∠BEF=180°-∠ABE=180°-即可．
n°，∠CDE=∠DEF=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出
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