2013-2014学年弹性力学与有限元分析复习题

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、我们把剪应力为零的面称为主平面，把该面的法线方向称为主方向，把该面上的正应力称为主应力。

8、弹性力学平面问题的基本方程包括：2个平衡微分方程，3个物理方程和3个几何方程。 9、已知一点处的应力分量x100MPa，y50MPa，xy1050 MPa，则主应力

1150MPa，20MPa，13516。

10、已知一点处的应力分量， x200MPa，则主应力1512 y0MPa，xy400 MPa，MPa，2-312 MPa，1-37°57′。

11、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y1000MPa，xy400 MPa，则主应力11052 MPa，2-2052 MPa，1-82°32′。

12、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

13、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

14、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

15、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√） 2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（×）

3、把两块不同的金属焊接在一起，就成为一块不连续但均匀的物体。（×）

1

4、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×） 5、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）

6、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（√）

7、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√） 8、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×） 9、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（×） 10、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 11、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√） 12、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（×）

13、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×） 三、简答题

1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。

在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。

在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？

答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变

2

化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x，y，

xy。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变

化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和v 5、简述圣维南原理。

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。

答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。

四、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）xAxBy，yCxDy，xyExFy； （2）xA(x2y2)，yB(x2y2)，xyCxy； 其中，A，B，C，D，E，F为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程

xyx0xy222；（2）在区域内的相容方程2xyyxy0xy（3）在边界上的应力xy0；lxmyxsf边界条件mylxysfxs；（4）对于多连体的位移单值条件。 ys（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

22、已知应力分量xQxy2C1x3，y3，xyC2y3C3x2y，体力不计，Q为2C2xy常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。

3

解：将所给应力分量代入平衡微分方程

xyx0yx yxy0xy得

Qy23C1x23C2y2C3x20 3C2xy2C3xy0即

3C1C3x2Q3C2y20 3C22C3xy0由x，y的任意性，得

3C1C30Q3C20 3C2C032由此解得，C1QQQ，C2，C3 6323、已知应力分量xq，yq，xy0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量xq，yq，xy0，代入平衡微分方程

xyxX0xy

yxyY0yx可知，已知应力分量xq，yq，xy0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：

2xy22 (xy)2(yx)2(1)2xyyx将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：

222xy ()()xyyx22111xyyx

4

2将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。 （1）xAxy，yBy3，xyCDy2； （2）xAy2，yBx2y，xyCxy； （3）x0，y0，xyCxy； 其中，A，B，C，D为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

222xyxy2 2xyyx将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）2A2ByC（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则x0，y0，xy0（1分）。 5、证明应力函数by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b0）。

h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数by2代入相容方程

44422240 4xxyy可知，所给应力函数by2能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

2220 x22b，y20，xyxxyy

5

对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：

h上边，y，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；

yy222h下边，y，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；

yy222l左边，x，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0；

xx222l右边，x，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0。

xx222可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a0）。

h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数axy代入相容方程

44420 x4x2y2y4可知，所给应力函数axy能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

222a x20，y20，xyxxyy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四

个边上的面力分别为：

h上边，y，l0，m1，fx(xy)ha，fy(y)h0；

yy222 6

h下边，y，l0，m1，fx(xy)ha，fy(y)h0；

yy222l

左边，x，l1，m0，fx(x)l0，fy(xy)la；

xx222l右边，x，l1，m0，fx(x)l0，fy(xy)la。

xx222可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

O x 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，

b 即设x0。由此可知

q g 2x20

y 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

x,yf1(x)yf2(x)

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

y d4f1(x)d4f2(x)y0 dx4dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），

可见它的系数和自由项都应该等于零，即

d4f1(x)d4f2(x)0， 0 44dxdx这两个方程要求

f1(x)Ax3Bx2CxI， f2(x)Dx3Ex2JxK

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2

对应应力分量为

2x20

y 7

2y2y(6Ax2B)6Dx2Egy

x2xy3Ax22BxC

xy以上常数可以根据边界条件确定。

左边，x0，l1，m0，沿y方向无面力，所以有

(xy)x0C0

右边，xb，l1，m0，沿y方向的面力为q，所以有

(xy)xb3Ab22Bbq

上边，y0，l0，m1，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

b(0xy)y0dx0

将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有

b0b032(3Ax22Bx)dxAx3Bx2b0AbBb0

而(xy)y00dx0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

bb0(y)y0dx0，

(0by)y0xdx0

将y的表达式代入，则有

(6Dx2E)dx3Dx0222Exb03Db2Eb0

由此可得

b032(6Dx2E)xdx2Dx3Ex2b2DbEb0 0AqqB，，C0，D0，E0 bb2应力分量为

x0, y2q13gy, xyq32

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远

离y=0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为

ybxbxxbb 8

fxVV，fy，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，xy222，试导出相应的相容方程。 x2V，y2V，xyxxyy证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程

xyxV0xyx（1分） yxyV0xyy还应满足相容方程

fxfy22x2y2xy1xy221fxfyx2y2xy1xy（对于平面应力问题） （对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。将其改写为

yx0xVxy Vxy0yxy这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为

xVyx xy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得

xV同样，将第二个方程改写为

AA，yx

xyyVyx（1分） yx可见也一定存在某一函数B（x，y），使得

yV由此得

BB，yx xy9

AB xy因而又一定存在某一函数x,y，使得

A，B

xy代入以上各式，得应力分量

222 x2V，y2V，xyxxyy为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数x,y必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

222222x2y2y2Vx2V1x2y2V 22222222x2y2y2x22x2y2V1x2y2V 简写为

4(1)2V

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得

2222122x2y2y2Vx2V1x2y2V 222222122x2y2y2x22x2y2V1x2y2V 简写为

1224V

19、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。

O x g y 10

解：纯三次的应力函数为

ax3bx2ycxy2dy3

相应的应力分量表达式为

2222bx2cy x2xfx2cx6dy, y2yfy6ax2bygy, xyxxyy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，

是否能满足应力边界条件。

上边，y0，l0，m1，没有水平面力，所以有

(xy)y02bx0

对上端面的任意x值都应成立，可见

b0

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

(y)y06ax0

对上端面的任意x值都应成立，可见

a0

因此，应力分量可以简化为

x2cx6dy，ygy，xy2cy

斜面，yxtan，lcossin，mcoscos，没有面力，所以有

2lxmyxyxtan0 ml0yxyyxtan由第一个方程，得

2cx6dxtansin2cxtancos4cxsin6dxtansin0

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

4c6dtan0

由第二个方程，得

2cxtansingxtancos2cxtansingxsin0

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

2ctang0（1分）

由此解得

11cgcot（1分），dgcot2 23从而应力分量为

xgxcot2gycot2, ygy, xygycot

11

h设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tan。根据力的平衡，固定端对梁的约束

l1反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为glh。因此，所求x在这部分边界上

21合成的主矢应为零，xy应当合成为反力glh。

2222dyglcot2gycotdyglhcotghcot0 x0xl0hh112dygycotdyghcotglh xyxl0022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

hh10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1，液体的密度为2，试求应力分量。

O x 解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与1g成正比（g是重力加速度）；另一

2g1g部分由液体压力引起，应当与2g成正比。此外，每一

y 部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，

1g和2g的量纲是L-2MT-2，是量纲一的

量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A1gx，B1gy，C2gx，D2gy四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

ax3bx2ycxy2dy3

相应的应力分量表达式为

2222bx2cy x2xfx2cx6dy, y2yfy6ax2by1gy, xyxxyy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，

是否能满足应力边界条件。

左面，x0，l1，m0，作用有水平面力2gy，所以有

(x)x06dy2gy

对左面的任意y值都应成立，可见

12

d2g6

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

(xy)x02cy0

对左面的任意y值都应成立，可见

c0

因此，应力分量可以简化为

x2gy，y6ax2by1gy，xy2bx

斜面，xytan，lcos，mcossin，没有面力，所以有

2lxmyxxytan0 ml0yxyxytan由第一个方程，得

2gycos2bytansin0

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

2gcos2btansin0

由第二个方程，得

6aytan2by1gysin2bytancos6atansin4bsin1gsiny0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求

6atan4b1g0

由此解得

111a1gcot2gcot3，b2gcot2 632从而应力分量为

x2gy, y1gcot22gcot3x2gcot21gy, xy2gxcot2

13