河海大学概率论与数理统计试卷2009

《概率论与数理统计》试卷(A)

（供全校2008级工科学生用）

（2009年12月）

专业、班级题 号 得 分 一 二 姓名三 四 学号五 六 七 成绩

八 成绩

一、（每空2分，本题满分18分）填空题

1．一批电子元件共有100个，次品率为0.05，连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为2．设随机变量X~B(20,0.1)，则P{XE(X)}。

69。

3．假设随机事件A与B相互，P(A)0.5，P(B)2，P(AB) 4．设随机变量X~N(10,2)，且P{10X20}0.3，则P{0X20} 5．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

Y X 0 1 2 则P{XY0}。

0 0.1 0.1 0.1 1 0.2 0.1 0.1 ，则。

。

2 0 0.2 0.1 6．已知随机变量X~N(3,1)，Y~U(1,3)，且X与Y相互，设随机变量Z2X3Y2，则E(Z) 7．设随机变量X~t(n)(n1)，Y1X2，D(Z)。

，则Y~。

8．设总体X~N(,2)，和2均未知，X1,X2,,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，则2的置信度为1的置信区间为

。

二、（本题满分12分）某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失了哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开2箱检查。（1）求任意打开的2箱都是民用口罩的概率；（2）在任意打开的2箱都是民用口罩的情况下，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。 三、（本题满分12分）已知随机变量X的概率密度函数为

Ax,f(x)2x,0,0x11x2其他

求（1）常数A；（2）X的分布函数F(x)；（3）E(X23X2)；（4）P{0.5X1.5}。 四、（本题满分8分）设随机变量参数为7的泊松分布。

五、（本题满分8分）设X、Y是相互的随机变量，概率密度函数分别为

fX1,(x)0,0x1其它X服从参数为3的泊松(Poisson)分布，Y服从参数为4的泊松分布，且X与Y相互，证明XY服从

ey,，fY(y)0,y0y0

求ZXY的概率密度函数fZ(z)。

六、（本题满分12分）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：

2,f(x,y)0,0x1,xy1其它

求：（1）关于X和Y的边缘密度函数（2）X和Y的相关系数XY；

fX(x)和fY(y)；

（3）X与Y是否？为什么？

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七、（本题满分16分）设总体X的密度函数为

1xe,f(x;)0,x0其它

其中为未知参数。

ˆ和极大似然估计量ˆ（1）求的矩估计量MMLE； ˆ（2）问MLE是否为的无偏估计量？为什么？

（3）若给出来自该总体的一个容量为8的样本的观测值：1、3、3、2、6、5、7、9，求P{X1}的极大似然估计值。

八、（本题满分14分）某电子制造厂生产的产品额定质量为500克，某日开工后随机抽查了9件进行测量，测量结果经计算得其平均值为

x499，样本方差为S229，设该天生产的产品质量服从正态分布N(,)。

2（1）试问该天生产机器工作是否正常?(0.05)

（2）若已知该天生产的产品质量的方差为230，求产品平均质量的置信度为95%的置信区间。 （z0.11.283，z0.051.5，z0.0252.26221.960，t0.1(8)1.3968，t0.1(9)1.3830，t0.1(10)1.3722，t0.05(8)1.8695，t0.05(9)1.8331，t0.05(10)1.8125，

t0.025(8)2.3060，t0.025(9)，t0.05(10)2.2280）

22182009-2010学年第一学期《概率论与数理统计》（工科）参考解答A卷

一（每空2分，共18分）．1．19/396或0.048；2．C0.10.90.285；3.4/3；4.0.6；5.0.5；6.-10，7；7.F（n,1）；8.((n(1n)S1),(n1()nS1))。

20222/221/2二（12分）．A-----任取2箱都是民用口罩，B----丢失的一箱为k，k消毒棉花.则

C3C1C8（1）P(A)P(B)P(AB)1 210536k3kkk1242C9252C9252C91,2,3分别表示民用口罩，医用口罩，

（2）P(B1A)P(B1)P(AB1)/P(A)12C422C9/P(A)336836381.

21x1x2三（12分）.（1）由f(x)dx1,又f(x)dxAxdx(2x)dx1，所以A1

xx,当1x2时, F(x)xdx(2x)dx2x (2)当x0时, F(x)=0;当0x1时, F(x)f(x)dxxdx1220x20011，当x2时，F(x)=1,所以X

的分布函数为F(x)（3）E(X20,12x,222xx1,212x00x11x22x2；

163X2)=(x1010.53x2)xdx1.5(x23x2)(2x)dx1；

3ek3（4）P{0.5X1.5}xdx(2x)dx=0.75

1四（8分）．X~P(3)，所以X的分布律为P(Xk)k0,1,2,3,...k!，k0,1,2,3,...；又因为Y~P(4)，所以Y的分布律为P(Yk)Z

k4ek4k!，有

；令

kZXY，所

k以的

m0取

3m值

7ek7为

0,1,2,3,...，

Y且

P(Zk)m0P(Zk|Xm)P(Xm)m0P(Zk|Xm)P(Xm)m0P(Ykm)P(Xm)4kme4e3(km)!m!k!，k0,1,2,3,...。从而X服从参数为

7的泊松分布。

e,五（8分）．法1： f(x,y)0,y0x1,y0,其它,



0,z0,zzxyzFZ(z)f(x,y)dxdydxedyz1e,0z1,xyz001zxy(z1)zdxedy1ee,z1,00

(e1)ez,z1,zfZ(z)1e,0z1,0,z0.

法2：f

Z(z)fX(zy)fY(y)dy，0zy1,y0，z0时,fZ(z)0;

z0z1时,fZ(z)e0ydy1ez;

(e1)ez,z1,yzz0z1,1z时,fZ(z)edy(e1)e;fZ(z)1e,0,z0.z1z

Y六（12分）．(1)f(2)E(X)X(x)f(x,y)dy

12dy2(1x),x0,0x1其它；f(y)xy2dx2y,f(x,y)dx00,0y1其它

xfX(x)dx01x2(1x)dx=1,

3E(X2)x2fX(x)dx0122(1x)dx=1,所以

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D(X)E(X2)E2(X)116119118；

1E(Y)yfY(y)dyy2ydy230，

E(Y2)y21fY(y)dyy22ydy120，

D(Y)E(Y2)E2(Y)118又

E(XY)11121xyf(x,y)dxdydxxy2dy4，所以Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)43336，=

0xXYCov(X,Y)D(X)D(Y)1/361/1812

D（3）因为f(x,y)f(x)f(y)，所以X与Y不。

ˆ七（16分）．（1）令E(X)X，又E(X)，所以X；

XYMnL()i1f(xi)，当xMLEi0,i1,2,...,n时，L()i1nnf(xi)i11xie，所以lnL()(lni11ˆMLE1nxi)，令

dlnL()dni1(1xi2)0ˆ有MLEX；

（2）因为E(ˆ)E(X)E(X)xˆ，所以1MLEX为的无偏估计。

（3）因为P{X1}又n9,x499,s(2)因为(xz/2n211edxe，所以P{X,H11}MLEeeX，另x4.5，所以P{X1}的极大似然估计值为eX0H0为真T~t(n1)S/n014.5。

|T|t/2(n1)八（14分）．(1)构造假设H20:0500:500,取检验统计量

0.562.3060,由P{|T|t/2/2(n1)}得拒绝域为: .

29,0.05,t0.025(8)2.3060,

T|499500|29/9,故应接受H,即认为包装机工作正常.

n,xz/2n)30n已知,所以总体均值的置信度为1的置信区间为(xz),又z/2z0.0251.96,故

,xz/2=(4991.96309,4991.96309)(495.422,502.578).

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