2013年全国高考理科数学试卷新课标1

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷I)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB

2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．

2

44A．－4 B．5 C．4 D．5

3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样

x2y254．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离心率为，ab2则C的渐近线方程为( )．

111xxxA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x



5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]

6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

500π866πA．3cm3 B．3cm3

1372π2048πC．3cm3 D．3cm3

7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．

A．5 B．6 C．7 D．8

2m2m＋1

展开式

x2y210．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：22=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交Eab于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．

x2y2x2y2x2y2x2y2=1=1=1=1A．4536 B．3627 C．2718 D．1

x22x，x0，11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．

ln(x1)，x0.A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]

12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

cnanban，cn＋1＝n，则( )． 22A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b²c＝0，则t＝__________.

14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．

Sn21an33，则{an}的通项公式是an＝_______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. (1)若PB＝

1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为

1，且各件产品是否为优质品相2互．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

2222

20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

2x21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝e(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为x45cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

y55sint标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈a1,时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 22

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国卷I新课标)答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B

解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为：

由图象可以看出A∪B＝R，故选B. 2． 答案：D

解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，

55(34i)34i. 34i(34i)(34i)554故z的虚部为，选D.

5∴z3． 答案：C

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4． 答案：C

c2a2b25c52. 解析：∵e，∴e22aa4a2b122

∴a＝4b，=.

a2b1∴渐近线方程为yxx.

a2

5．

答案：A

解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．

2

若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t，其对称轴为t＝2.

故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]． 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A. 6． 答案：A

解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．

BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，

222

由R＝(R－2)＋4，得R＝5， 所以球的体积为

43500π5π(cm3)，故选A. 337．

答案：C

解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，

∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.

mm1m1³1＝0，∴a1. 22m1m3. 又∵am＋1＝a1＋m³1＝3，∴2∵Sm＝ma1＋

∴m＝5.故选C. 8． 答案：A

解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr³4³9． 答案：B

m解析：由题意可知，a＝Cm2m，b＝C2m1，

2

1＋4³2³2＝8π＋16.故选A. 2又∵13a＝7b，∴13即

2m!2m1!=7， m!m!m!m1!132m1.解得m＝6.故选B. 7m110． 答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，

x12y121,①a2b2∴

22x2y21,②a2b2①－②，得

x1x2x1x2y1y2y1y2=0， 22abyy2y1y2b2即2=1， ax1x2x1x2∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

011b21y1y2=，∴2=. 而＝kAB＝

312a2x1x2又∵a－b＝9，∴a＝18，b＝9.

2

2

2

2

x2y2=1.故选D. ∴椭圆E的方程为

111． 答案：D

解析：由y＝|f(x)|的图象知：

①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.

22

②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x＋2x|＝x－2x.

2

故由|f(x)|≥ax得x－2x≥ax. 当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]． 12． 答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：∵c＝ta＋(1－t)b，

2

∴b²c＝ta²b＋(1－t)|b|.

又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)， 0＝

1t＋1－t. 2∴t＝2.

n－1

14．答案：(－2)

21an，① 3321∴当n≥2时，Sn1an1.②

3322①－②，得ananan1，

33a即n＝－2. an121∵a1＝S1＝a1，

33解析：∵Sn∴a1＝1.

n－1

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2). 15．答案：25 5解析：f(x)＝sin x－2cos x

21sinxcosx，

5512令cos α＝，sin α＝，

55则f(x)＝5sin(α＋x)，

π当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，

2π即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，

2π225π所以cos θ＝cos2kπ+＝cos＝sin α＝. 2552＝516．答案：16

解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称， ∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，

b15164ab,即

0893ab,a8,解得

b15.∴f(x)＝－x－8x－14x＋8x＋15.

4

3

2

由f′(x)＝－4x－24x－28x＋8＝0， 得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5. 易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．

∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)][(－2－5)＋8(－2－5)＋15]

2

2

32

＝(－8－45)(8－45) ＝80－＝16.

f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8³(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.

f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]

＝(－8＋45)(8＋45) ＝80－＝16.

故f(x)的最大值为16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA＝32

11723cos 30. 424故PA＝7. 2(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得3sin， sin150sin(30)化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝33，即tan∠PBA＝. 4418．

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，

故OA，OA1，OC两两相互垂直．

以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，

则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，AC1＝(0，3，3)．

nBC0,x3z0,则即可取n＝(3，1，－1)． nBB10,x3y0.nAC101故cos〈n，AC〉＝＝. 15nAC1所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

10. 519．

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)

＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝

41113. 1616162411111，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝. 1616161X P 400 500 800 (2)X可能的取值为400,500,800，并且

P(X＝400)＝1所以X的分布列为 11 161 161 4EX＝4001111+500+800＝506.25. 16120．

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，

x2y2=1(x≠－2)． 其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

22

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)＋y＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)． 由l与圆M相切得解得k＝|QP|R可求得Q(－，

|QM|r1|3k|1k2=1，

2. 4x2y222x2代入=1， 当k＝时，将y4344并整理得7x＋8x－8＝0， 解得x1,2＝

2

462. 7

所以|AB|＝1k|x2x1|当k218. 7182时，由图形的对称性可知|AB|＝.

7418综上，|AB|＝23或|AB|＝.

721．

解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.

x而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e(cx＋d＋c)， 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

2x(2)由(1)知，f(x)＝x＋4x＋2，g(x)＝2e(x＋1)．

x2

设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke(x＋1)－x－4x－2，

xx则F′(x)＝2ke(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(ke－1)． 由题设可得F(0)≥0，即k≥1.

令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.

2

①若1≤k＜e，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)． 而F(x1)＝2x1＋2－x12－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.

故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

22x－2

②若k＝e，则F′(x)＝2e(x＋2)(e－e)．

从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增． 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

2－2－22

③若k＞e，则F(－2)＝－2ke＋2＝－2e(k－e)＜0. 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．

2

综上，k的取值范围是[1，e]．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．

(1)证明：连结DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂线，所以BG＝3. 2设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于23． 解：(1)将2

3. 2x45cost,22

消去参数t，化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，

y55sint2

即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0. 将xcos,22

代入x＋y－8x－10y＋16＝0得

ysin

ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为 2

ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

22

(2)C2的普通方程为x＋y－2y＝0.

2

x2y28x10y160,由2 2xy2y0x1,x0,解得或

y1y2.ππ所以C1与C2交点的极坐标分别为2,，2,.

4224．

解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

15x,x,21则y＝x2,x1,

23x6,x1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

(2)当x∈a1,时，f(x)＝1＋a. 22不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

a1,都成立． 22a4故≥a－2，即a.

234从而a的取值范围是1,.

3所以x≥a－2对x∈