数分05年期末课程考试试卷A

（2006——2007学年度第二学期）

一、填空题（每小题2分，共20分） 1、lim1y01xydx= __________

222、Γ( n ) = __________(nN)

3、设L是直线y = x从点（0，0）到点（1，1），则xyds= __________

L4、 设L是直线y = x从点（0，0）到点（1，1），则2xydxx2dy= __________

L5、xydxdy= __________ 其中D = [0，1]×[0，2]

D6、改变累次积分dyfx,ydx的积分次序为__________

001y7、全微分du = ( 3x2 – 3y )dx + ( 2y – 3x )dy的原函数U ( x，y )= __________ 8、设V ：x2y2z21,z0，则dxdydz= __________

v9、设f(x,y,z)dxdya，那么f(x,y,z)dxdy= __________

SS10、设S是平面2x + y + z = 1在第一卦限的部分，则2xyzds=______

S二、单项选择题 (每小题3分，共15分) 1、设Fx（A）x020x2edyxyxy，那么Fx=（ ）

x3yedy2xex3 （B）ex

x022（C）2xe （D）yedyxy

2 设曲线积分2xydxfxdy与路线无关， f ' (x)连续且f (0) = 1,那么f (x) =

L（ ）

（A）x2 （B）x2 + 1 （C）x2 – 1 （D）x2 + c 3、改变累次积分dxfx,ydy的次序为（ ）

1x211（A）dy11111y2fyx,ydx （B）0dyf1yyfx,ydx

（C）dyyx,ydx （D）dyfx,ydx

0111 4、设V = [0，1]×[0，1]×[0，1]，则xyzdxdydz=（ ）

V（A）1 （B）

52 （C）2 （D）

32

5 设S是平面x + y + z = 1在第一卦限的部分，并取上侧为正，则

(xSyz)dxdy=（ ）

32（A）（C）

3412 （B）

（D）23 三、 计算题 (每小题7分，共42分) 1、计算

L22(xy)ds，其中L是圆周xy2y

222、应用格林公式计算(exsinymy)dx(excosym)dy，其中m为常数，AB

AB为由(a,0)到(0,0)经过圆x2y2ax(a0)上半部分的路线 3、计算

sinDxydxdy22，其中D：x2y22

由x2y2z21和x2y2z22z所确定

4、计算 5、计算

Vzzdxdyd，其中

V2(xSy)ds2，其中S为立体x2y2z1的边界曲面

6、应用高斯公式计算 外侧为正向 四、应用题（7分）

Sxydzdx，其中S是球面x2y2z21的上半部分并取

求曲面azxy包含在圆柱x2y2a2内的部分的面积 五、证明题 (每小题8分，共16分) 1 证明：含参变量积分arctanxy1y20dy在xR上一致收敛

2 设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)f(y,x)，证明



10dxf(x,y)dy0x10dxf(1x,1y)dy

0x答案

一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6

1dxf(x,y)dy；

120x7 x3y33xyc；8 23；9 a；10

6。

4二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

1 L：x2y22y，令xcos,y1sin,则02 于是dsd

(x2y2)ds2 02(1sin)d L 4 2 补充线段BA：y0, 0xa xxAB(esinymy)dx(ecosym)dy (exsinymy)dx(exABAcosym)dy

(exsinymy)dx(excosym)dy mdxdya00dx D28ma 3 令xrcos,ysin，则DD1：0r,02 于是sinx2y2dxdysinrrdrd DD1 20d0rsinrdr 22 2分 3分 6分

7分

2分

4分

6分

7分

2分 4分

6分

7分

2221xyz14 由 得 z

2222xyz2zx2y2z22zxyz1，： 2分 VV1V2，V1：V112z10z221Vzdxdydz20zdzD1dxdy112zdzdxdyD2

其中D1：x2y22zz2，D2：x2y21z2 4分

1于是zdxdydzV20z(2zz)dz2112z(1z)dz 6分

2 2071 7分

xy,(x,y)D，S2：z1,(x,y)D

22225 SS1S2，S1：zD：xy221，S1:1zxzy22，S2:1zxzy1 3分

22于是

(xS2y)ds(xS12y)ds222(xS22y)ds

2 (xDy)2dxdy2(xD2y)dxdy 5分

2 (1 2(12)0drdr

0132) 7分

226 补上一块面S1：z0,xy1 2分

xydzdxSxydzdxSS1xydzdxS1

V2xdxdydz 4分

1 

0cosd20sindrdr  6分

023 0 7分 四 应用题（7分） S：z ds1axy，(x,y)D:xy2222a，

2221zxzydxdy1aaxydxdy 3分

2 SSdsD1aaxydxdy 4分

a222  1a20d20arrdr 6分

222a(221) 7分

3五 证明题 1 xR，

arctanxy1y2211y2 1 01y2dy收敛 从而由M判别方法知arctanxydy在xR上一致收敛 01y2 2 令T：x1uy1v 则J(u,v)10011 从而Dx：0yx,0x1Dv：0uv,0v1 于是1dxx00f(x,y)dyf(x,y)dxdy

Dx f(1u,1v)dudv Dv 1v0dvf(1u,1v)du 0 1x0dxf(1y,1x)dy 0 10dxx0f(1x,1y)dy 3分

5分

8分

2分

4分 5分

6分

7分

8分