专题提升四 相似三角形基本图形(1)旋
转型相似
引例：如图||，△ABD与△CBE中||，已知∠1＝∠2||，要使得△ABD∽△CBE||，还需添加什么条件？
将△ABC绕着一点(B)旋转||，再扩大(或缩小)得△DBE||，在这一过程中||，伴随着第二次AB
相似||，即△ABC∽△DBE.这两个相似的纽带就是过旋转中心(点B)的四条线段成比例||，即
BD＝BC. BE
例1 已知：如图||，∠1＝∠2||，∠3＝∠4||，求证：∠ABD＝∠ACE.
例2 正△ABC和正△DEF的边AB||，ED的中点重合于点O||，△DEF绕点O旋转一定角度||，连结AD||，CF.当AD＝1时||，求CF的长度．
1．(1)如图1||，△ABC、△DCE均为等边三角形||，点B||，A||，D在一直线上||，连结AE.求证：AE∥BC.
(2)如图2||，AB＝AC||，DE＝EC||，且∠B＝∠ECD.求证：AE∥BC.
第1题图
2．已知：在△ABC中||，AB＝AC||，点D为BC边的中点||，点F是AB边上一点||，点E在线段DF的延长线上||，∠BAE＝∠BDF||，点M在线段DF上||，∠ABE＝∠DBM.
(1)如图1||，当∠ABC＝45°时||，求证：AE＝2MD；
(2)如图2||，当∠ABC＝60°时||，则线段AE、MD之间的数量关系为____________； (3)求证：∠AEB＝90°.
第2题图
3．如图||，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一定角度||，求线段DG与CF的比值．
第3题图
4．如图||，已知A是第一象限内横坐标为23的一个定点||，AC⊥x轴于点M||，交直线y＝－x于点N.若P是线段ON上的一个动点||，∠APB＝30°||，BA⊥PA||，点P在线段ON上运动时||，点A不变||，点B随之运动||，则当点P从点O运动到点N时||，求点B运动的路径长．
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第4题图
专题提升四 相似三角形基本图形(1)
旋转型相似
【课前热身】
ABBC
引例：∠BAD＝∠BCE或＝或∠BDA＝∠BEC.
BDBE【典型例题】
例1 证明：∵∠1＝∠2||，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE||，即∠DAE＝∠BAC||，又∵∠3＝∠4||，∴△ABC∽△ADE||，∴＝∠ACE.
例2 连结OC||，OF||，则△COA∽△FOD(旋转相似)||，可得△COF∽△AOD(伴随相似)||，易求CF＝3AD＝3. 【针对练习】
1．(1)证明：由△BCA∽△DCE(旋转相似)||，可得△BCD∽△ACE(伴随相似)||，∴∠B＝∠CAE＝∠ACB||，∴AE∥BC； (2)证明：由△BCA∽△DCE(旋转相似)||，可得△BCD∽△ACE(伴随相似)||，∴∠B＝∠CAE＝∠ACB||，∴AE∥BC.
2．(1)证明：连结AD.∵AB＝AC||，BD＝CD||，∴AD⊥BC.又∵∠ABC＝45°||，∴ABAEAB＝2BD.∵∠BAE＝∠BDM||，∠ABE＝∠DBM||，∴△ABE∽△DBM.∴＝＝2||，∴
DMDBAE＝2MD. (2)AE＝2MD；
(3) ∵∠BAE＝∠BDM||，∴A、E、B、D四点共圆||，又∵AD⊥BC||，∴∠AEB＝90°. 3．连结AC||，AF||，则△ADC∽△AGF(旋转相似)||，可得△ADG∽△ACF||，∴DG∶CF＝AD∶AC＝1：2.
4．由题意可知||，OM＝23||，点N在直线y＝－x上||，AC⊥x轴于点M||，则△OMN为等腰直角三角形||，ON＝2OM＝2×23＝26.如答图1所示||，设动点P在O点(起点)时||，点B的位置为B0||，动点P在N点(终点)时||，点B的位置为Bn||，连结B0Bn.∵AO⊥AB0||，AN⊥ABn||，∴∠OAC＝∠B0ABn||，又∵AB0＝AO·tan30°||，ABn＝AN·tan30°||，∴AB0∶AO＝ABn∶AN＝tan30°(此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得)||，∴△AB0Bn∽△AON||，且相似比为tan30°||，∴B0Bn＝ON·tan30°＝26×
3
＝22.现在来证明3
ADAE
＝||，又∵∠1＝∠2||，∴△ADB∽△AEC||，∴∠ABDABAC
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线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹)．如答图2所示||，当点P运动至ON上的任一点时||，设其对应的点B为Bi||，连结AP||，AB||，B0Bi||，∵AO⊥AB0||，AP⊥ABi||，∴∠OAP＝∠B0ABi||，又∵AB0＝AO·tan30°||，ABi＝AP·tan30°||，∴AB0∶AO＝ABi∶AP||，∴△AB0Bi∽△AOP||，∴∠AB0Bi＝∠AOP.又∵△AB0Bn∽△AON||，∴∠AB0Bn＝∠AOP||，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn||，∴点Bi在线段B0Bn上||，即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹)．综上所述||，点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn||，其长度为22. 第4题图
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