第三单元 最大公因数和最小公倍数
知识点：
一、公倍数：2×4=8，8既是2的倍数，也是4的倍数，那么就称8是2和4的公倍数。2
和4的公倍数不止一个，还有4、12、16、20……，其中最小的那个叫做2和4的最小
公倍数。（两个数的公倍数的个数是无限的）
二、公因数：2既是8的因数，也是12的因数，那么就称2是8和12的公因数。8和12的公因数不止一个，还有 1、4，其中最大的那个就叫做8和12的最大公因数。（两个
数的公因数的个数是有限的） 例如：求24和36的公因数和最大公因数 24的因数：1、2、3、4、6、12、24 36的因数: 1、2、3、4、6、9、12、18、36 24和36的公因数：1、2、3、4、6、12 24和36的最大公因数：12 【练习】 1.写出下面每组数的最大公因数。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 21和36 （ ） 22和55 （ ） 2.写出下面每组数的最小公倍数。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 22和55 （ ） 21和36 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 30和45 （ ）
三、最小公倍数与最大公因数的求法：
1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。
3.若不互质，运用短除法计算。
2 ∣24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果
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2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止
3 |6 9 最大公因数：2×2×3=12 2 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72
四、性质
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
一个数最小的因数是1，最大的 因数是它本身。
一个数因数的个数是有限的。 2的倍数的特征是：位上的数是2、4、6、8或0。 5的倍数的特征是：个位上的数是5或0。 既是2的倍数，又是5的倍数的特征是：个位上的数只能是0； 只有1和它本身两个因数的数叫做素数（或质数） 除了1和它本身还有别的因数（即3个或3个以上的因数），这样的数叫合数。
1既不是素数也不是合数，因为它只有一个因数。 三个连续的自然数的和都是3的倍数，三个连续奇数或偶数的和也是3的倍数。
五、关于如何判断两数是否互质的方法： （1）两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。 （2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。 例如，3与10、5与 26。 （3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。 （5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。 （6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。 （7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。 （8）2和任何奇数是互质数。如2和87。 六、如何判断一个数是否是素数：
用试除法判断一个自然数a是不是质数时，用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继
续试除，可以断定a必然是质数。
【练习】 一、填空
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1.最小的素数是（ ），最小的合数是（ ）。
2. 18的因数有（ ），24的因数有（ ），它们的公
因数有（ ）。
3. 在1～20的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（ ），既是素数又是偶数
的有（ ）。
4. 自然数按因数个数的多少可以分成（ ）、（ ）和（ ）。
5. 1082至少加上（ ）是3的倍数，至少减去（ ）才是5的倍数。
6.一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（ ）。 7. 两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（ ）。
8. 如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
9. 用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（ ）。 二、解决问题 1.甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？ 2.有两根小棒分别长20分米，28分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？ 3.五（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？ 来源于网络
