高观点下的中学数学,作业一

第三章课后作业

一、必做作业：

1． 用两种方法求下列函数的极值：

3yx3x1 （1）

解：

2y3x3,y6x，令y0，得到：x1，当x1时，y0，y取解法一：

得极小值且

y极小值1；当x1时，y0，y取得极大值且y极大值3；

yx33x1(xx0)2(x)解法二：令：

x3(2x0)x2(x022x0)xx02

比较系数得到：

22x2x3x2x000① ；②0；③01

2x1，故，x01或x01。 2x0，代入②得0由①得

若x01，则，2，代入③得1，从而有：

y(x1)2(x2)1；当x在1的附近，显然有x20，又(x1)20；所以：

y(x1)2(x2)11，即函数y在x01处取得极小值-1.

若x01，则，2，代入③得3，从而有：

y(x1)2(x2)3；当x在-1的附近，显然有x20，又(x1)20；所以：y(x1)2(x2)33，即函数y在x01处取得极大值3.

32y2x3x12x1． （2）

解：

2y6x6x12,y12x6，解法一： 令y0，得到：x2或1，当x2时，

y0，y取得极小值且y极小值19；当x1时，y0，y取得极大值且y极大值8；

解法二：

令y2x33x212x12(xx0)2(x) 2x32(2x0)x22(x022x0)x2x02

比较系数得：

①2(2x0)3；②2(x02x0)12；③2x01

22

由①得

2x032x2，代入②得0x020，故，x02或x01。 52，代入③得19，从而有：

若x02，则，

55x0y2(x2)(x)192(x2)0；22；当x在2的附近，显然有，又所以：

25y2(x2)2(x)19192，即函数y在x02处取得极小值-19.

7x12，代入③得8，从而有： 若0，则，

77x0y2(x1)(x)82(x1)0；所以：22；当x在-1的附近，显然有，又

27y2(x1)(x)882，即函数y在x01处取得极大值8.

222f(x,y)5x6xy2y14x8y12取得最小值． x,y2． 问当取何值时，

fx10x6y14f6x4y8f0;fy0解：先求二次函数的偏导数y，并令x，解得x2,y1，

2此为f(x,y)的驻点，且f(x,y)在R上是连续的，因此在点（2，-1）上取得最小值2。即

当x2,y1时，f(x,y)取得最小值2.

3． 有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个

重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．

解：依题意，顾客人数至少为三人，当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见，第一次广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。第一次开播时，第2，3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播则应在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。所以，至少播2次就可以了。

这个对任意的n3也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进来的顾客为B，若按上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未相遇。这与已知条件矛盾。所以，商场至少需要广播2次，当天全体顾客都可以听到了。

1x20224． 解不等式1x1x．

xx1x21x20221x0，因此，只要1x解：原式可化为：① ，由于

x1x21x20，①式即可成立。因此

x1x21x20x1x2x21 ②

（1）当x1时，不等式②两边均为正数，两边平方符号不变，即

(x1x2)2(x21)2x4x2x42x21x213

x33或x,从而x133；

22x1x0,而x10，从而不等式②不成立，无解； （2）当x1时，

22x1x0,x10，从而不等式②恒成立，即不等式的解为0x1（3）当时，

0x1；

（4）当1x0时，不等式②两边均为负数，两边平方符号改变，即

1333(x1x2)2(x21)2x2x,从而x03333

3xx3综上所述，可以知道不等式的解集为.

a1a2nan5． 设ai0,i1,2,…,n求证：

a1a1a2a2anan()a1a2an.

证明：原不等式等价于

ln(a1a1a2a2anan)ln(a1a2nan)a1a2an，即要证明：

a1lna1a2lna2anlnan(a1a2an)lna1a2ann。

1x，由于

设函数f(x)xlnx,x0，求得f(x)lnx1，

f(x)

x0,从而有f(x)0，因此，f(x)在定义域x0上为凹函数，则由凹函数的性质可知：

f(a1)f(a2)f(an)aa2anf(1)nn，从而有

ai0,有a1lna1a2lna2anlnana1a2ana1a2nannlnnaaa1a2an1ln1a2lna2anlnan(a1a2an)lnn.

因此，原不等式成立.

成立即

，