2008北京大学自主招生数学试题
1 求证：边长为1 的正五边形对角线长为 | 5 | | 1 |
2 |
B | 1 | A | 4 |
1 | 2 |
x | D | x | 3 | x |
5 |
1-x | E |
x |
C
略解：
三角形ABE∽三角形DAE
| x | | 1 | | x |
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则： | 1 |
| x | 5 | | 1 |
x | | 5 | | 1 |
2 |
对角线AC=1+x= |
2 |
2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1
求证△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半
B1
C
A
P
C1 A1
B
略解：如图得证
3 已知
a1a2a3b1b2b3
aa 1 2aa 2 3aa 3 1bb 12bb 23bb 31
min(aa a 1 2 3)min(, bb b 1 23 )
求证：max(aa a 1 23 )max(, bb b 1 23 )
4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证
冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为 | C | 2 | |
| | (2 | x | | 9)(2 | x | | 8) | | (2 | x | | 9)( | x | | 4) |
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| 2 | x | 9 | 2 |
| | 9( |
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南方球队总得分为9 (2 10 | x | | 9)(2 | x | | 8) | x | | 9)( | x | | 4) |
2 |
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| 10 |
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北方球队总得分为(2 | x | | 9)( | x | | 4) |
10 |
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南方球队内部比赛总得分 | 2
C | 9 |
北方球队内部比赛总得分 | C | 2 |
x |
(2 | x | | 9)( | x | | 4) | | x x | | 1) | | 0 |
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| 10 |
| 2 | 229 | | 11 16 | | 9 |
解得：11 | | 3 | 229 | | x | | 11 | | 3 |
3 |
因为 | (2 | x | | 9)( | x | | 4) | 为整数 |
| 10 |
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x=6或x=8
当x=6时
所有球队总得分为 | C | 2 | |
| | (2 | x | | 9)(2 | x | | 8) | | (2 | x | | 9)( | x | | 4) | =210 |
| 2 | x | 9 | 2 |
| | 9( |
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南方球队总得分为 | 9 (2 | x | | 9)(2 | x | | 8) | x | | 9)( | x | | 4) | =1 |
10 | 2 |
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| 10 |
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北方球队总得分为 | (2 | x | | 9)( | x | | 4) | =21 |
10 |
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南方球队内部比赛总得分 | 2
C | 9 | =105 |
北方球队内部比赛总得分 | C | 2 | =15 |
x |
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<1
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 | C | 2 |
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| | (2 | x | | 9)(2 | x | | 8) | | (2 | x | | 9)( | x | | 4) | =300 |
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| 2 | x | | 9 |
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| 2 | | 9( |
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南方球队总得分为 | 9 (2 | x | | 9)(2 | x | | 8) | x | | 9)( | x | | 4) | =270 |
| 10 | 2 |
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| 10 |
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北方球队总得分为 | (2 | x | | 9)( | x | | 4) | =30 |
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| 10 |
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南方球队内部比赛总得分 | 2
C | 9 | =136 |
北方球队内部比赛总得分 | C | 2 | =28 |
x |
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ 坐标系内xoy 平面系内 | 0 | | y | | 2 | | x | 2 | 绕y 轴旋转一周构成一个不透光立 |
体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π求
C上未被照到的长度
答案：
1.求证边长为1的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/2
2.六边形AB1CA1BC1中，AB1=B1C，CA1=A1B，AC1=BC1 ，角A+角B+角C=
角A1+角B1+角C1,求证三角形ABC面积是六边形面积的一半
3.已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知
min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3}求证：max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}
4.南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队
的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.（只理科生做）
在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2绕y轴旋转后所得的不透光的立体
图形。现在（1，0，1）处有一点光源p。
圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为2TT
（派），求圆上阴影部分长度。
2006年北京大学自主招生考试试题
12月30日，北京大学在上海市进行了自主招生选拔测试。其中的语文考题作文要求考生模仿贪官污吏写600-700字检讨，体现出一定的新意。
其中1715名考生通过据了解，全国范围内，共有6000多名考生向北大递交了自主招生申请材料，
了初审。
北京大学自主招生测试题选登
【语文】
1.写四字短语，要求偏旁部首相同。(10分)
2.写十字句子，每个字都是zh,ch,sh,r。(10分)
3.写一段文言50字以内，至少3个“之”，且用法不同。(10分)
4.请随便默写一首五言绝句，再将每一句诗增加两个字，使之成为七言绝句。(30分)
5.作文：模仿贪官污吏写600-700字检讨，要体现出其中的华而不实、雕琢堆砌、避重就轻和企图敷衍了事。(40分)
【英语】
20道选择(20分)2篇阅读，共10道题(40分)(考生介绍，两道题的大意为：1、比较麦当劳和高档餐厅的不同，‘我’过生日时，妻子要去正式的餐厅，而‘我’更钟情麦当劳；2、二战中，有7名英勇的黑人士兵，立下赫赫战功，但没有得到相应的最高荣誉。多年抗争后，在克林顿执政期间，仅存的一名老兵终于得到了最高荣誉。)
4题英译中(20分)(考生介绍，其中一道题的大意为：我和妻子走在海滩边，看着女儿在沙滩上、海里嬉戏，棕色皮肤闪耀着光芒，
忽然间我们听到背后传来一名种族主义者的咒骂声，这对于我就像战争上的炮声。)
4题中译英(20分)(考生介绍，其中几道题的大意为：一直在搜寻一个小偷，最后在他叔叔家里发现；火车都是要按时出发和达到，否则整个铁路服务就会陷入混乱。)
【历史】
1.名词解释(10×6分)布拉格之春、徐光启、宅地法、三反五反、二二六兵变、匈奴、甲骨文、新青年、东印度公司……
2.材料分析题：马克思说过，“如果‘偶然性’完全不起作用的话……对发展的加速或延缓起决定性作用的偶然性，包括站在运动最前面的那些人物的性格这种‘偶然情况’。”请你用所知道的历史知识加以解释和评价，特别是划线句(最后一句)(40分)
【政治】
1.“政通人和”需要处理好哪些关系？(10分)需要遵守什么基本原则？为什么？(20分)
2.某地低价买进村民的土地，圈起，挂上只要有钱就能在里面办厂建房的牌子，创造了巨大的“经济效益”，被媒体暴光后被相关部门处罚。请问什么是经济效益？(10分)
为什么创造巨大“经济效益”的行为不被认同？(10分)
考生回忆：2008年12月30日北大自主招生试题
今天上午8：30-12：30语文数学英语14：00-16：00物理化学
语文：文言文一篇30分，现代文阅读30分（包括一篇短的散文写作10分），作文40分
数学：4个大题+1个附加题
英语：20个语法+2篇阅读+3个英译中+4个中译英
物理：6个大题
化学：9个大题
部分题目：
1.语文文言文选自《庄子》的一篇，要求断句，解释词语，并对文章进行了解后回答问题
现代文阅读中有一个题目要求你写出“山”与“水”在论语中的典故，并就你是喜欢“山”还是喜欢“水”
写一篇100字左右的散文。
2.数学求边长正五边形的某条对角线长度（第一题）
3.英语两篇阅读，语法有不少的短语辨析，阅读其中一篇是介绍新星和超新星，翻译的话
难度递增，但都很简单
4.物理第一题是非常简单的运动学，第二题热力学定律给出PV图像判断吸热和放热，第三
题是等效电路计算，第四题是磁场中的受力问题，第五题是光学的反射，第六题与能量，动量有
关
5.化学请说明制取NO2为什么用Pb(NO3)2，并画出实验装置图
我们的考试是在一间大的教室，文理科的学生都在一起考试，试卷统一收齐后寄至北京统一
批改
