乘法公式与因式分解
一、直接运用
例1、分解因式：(a+b)2－1
解：直接运用平方差公式，得：原式＝(a+b+1)(a+b－1).
例2、分解因式：4x2－12xy+9y2
解：原式＝(2x)2－2·2x·3y+(3y)2＝(2x－3y)2.
二、反复运用
例3、分解因式：4a2+4ab+b2－4a－2b+1
解：原式＝(4a2+4ab+b2)－(4a+2b)+1
＝(2a+b)2－2(2a+b)+1＝(2a+b－1)2.
三、先提取公因式再运用
例4、分解因式：a3－4a
解：原式＝a(a2－4)＝a(a+2)(a－2).
例5、分解因式：x3y2－6x2y+9x
解：原式＝x(x2y2－6xy+9)＝x(xy－3)2.
四、先分组再运用
例6、分解因式：x2－y2+ax+ay
解：原式＝(x2－y2)+(ax+ay)＝(x+y)(x－y)+a(x+y)
＝(x+y)(x－y +a).
五、几个公式联合运用
例7、分解因式：x2+2xy+y2－z2
解：原式＝(x2+2xy+y2)－z2＝(x+y)2－z2＝(x+y+z)(x+y-z).
六、先用十字相乘法再运用
例8、分解因式：(a+b)4－13(a+b)2+36
解：公式＝[(a+b)2－4][( a+b)2－9]
＝(a+b +2)( a+b－2) (a+b +3)( a+b－3)
七、先展开再运用
例9、分解因式：(1－a2)(1－b2)－4ab
解：原式＝1－a2－b2+a2b2－4ab
=(1－2ab+ a2b2)－(a2+2ab+b2)
＝(1－ab)2－(a+b)2
＝(1－ab+a+b)(1－ab－a－b)
八、先拆项再运用
例10、分解因式：x4－7x2+1
解：把－7x2拆成2x2－9x2；则
原式＝(x4－2x2+1)－9x2
＝(x2－1)2－(3x)2
＝(x2+3x－1)(x2－3x－1)
九、先添项后运用
例11、分解因式：a4+4b4
解：原式＝(a4+4a2b2+4b4)－4a2b2
＝(a2+2b2)2－(2ab)2＝(a2+2ab+2b2)(a2－2ab+2b2)
十、先换元再运用
例12、分解因式：(c－a)2－4(b－c)(a－b)
解：设b－c＝x，a－b＝y，那么c－a＝－(x+y)，则
原式＝[－(x+y)]2－4xy＝x2－2xy+y2＝(x－y)2
＝[(b－c)－(a－b)]2＝(2b－a－c)2
练习：把下列各多项式分解因式：
1、a2－b2+a－b 2、a2－b2+2b－1
3、x4y4－5x2y2+4 4、x2(x－2y)+y2(2y－x)
5、x4+4 6、xn+2－2xn+1+xn
