华中科技大学研究生课程考试试卷
数值分析课程名称：_______________________ 课程类别
考核形式□开卷□公共课√
√闭卷□专业课□
2009.5.6学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ 学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将
3
ln(1+x)-lnx,x>>1,改写为_____________。
2. 设f(x)=2009x+2008x+2007,其三阶差商f[0,1,2,3]=_____________，四阶差商
f[0,1,2,3,4]=____________。
3. 设?2(x)=x-x+b是[0,1]上带权ρ(x)=1的正交多项式，则b=___________。4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为
O(h
p+1
2
)，则称该算法有
_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
′5. 设x是f(x)=0的二重根。f′(x)在x邻近连续，则用迭代公式________________
*
*
求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
?a+12?
6. A=?，当a满足条件___________时，A可作LU分解，当a满足条件?
1??2
__________时，必有分解式A=L?L，这种分解唯一吗？ _____________ 二、（10分）函数f(x)在[x0,x1]上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足P(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),P(x1)=f(x1).证明其唯一性，并写出它的余项
f(x)-P(x)的表达式。
P(x)
T
三、（10分）设f(x)=5x3+x2+1，试利用Legendre多项式Pn(x)的性质，求f(x)在
2
[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式。
（Legendre多项式：P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=
12
(3x-1),P3(x)=
20
2
12
(5x3-3x)）
2
四、（10分）作适当变换，选用合适的数值求积公式，求积分
1
∫
x-2x+2x(2-x)
dx的准确
值。（Chebyshev多项式：T0=1,T1=x,T2=2x2-1,T3=4x3-3x）。 五、（10分）已知四阶显式Adams公式及截断误差
yn+1=yn+
h24
(55fn-59fn-1+37fn-2-9fn-3)
251720
hy
5
(5)
Tn+1=y(xn+1)-yn+1=
(ξ)xn-3<ξ和四阶隐式Adams公式及截断误差yn+1=yn+
h24
(9fn+1+19fn-5fn-1+fn-2)
19720
hy
5
(5)
Tn+1=y(xn+1)-yn+1=-(η)
xn-2<η试构造它们的预估——改进——校正系统。六、（10分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组AX=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中
?30-2?
??A=?021?
??-212??
七、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组
?x1+2x2+3x3=1?
?5x1+4x2+10x3=0?3x-0.1x+x=2
23?1
八、（10分）试确定常数p,q,r使迭代公式xk+1=pxk+q敛到
3
aa
产生的序列{xk}收2+r5
xkxk
2
a，并使其收敛阶尽可能高。
-1≤x0九、（10分）设f(x)∈Cn+1[-1,1]，试证明当插值节点Chebyshev多项式Tn+1(x)的零点时，Lagrange插值多项式的截断误差
f-Pn
≤?n，
(n+1)!2
2
Mn+1
1
∞
Mn+1
=maxf-1≤x≤1
(n+1)
(x).
