统计学常用分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2X 当X1、X2、、Xn相互且都服从N(0,1)时，Z=i 的分布称…

i为自由度等于n的2分布，记作Z～2(n)，它的分布密度

nz11nx2e2,z0p(z)= n2220,其他,n式中的=0u2n1u2edu，称为Gamma函数，且1=1，

1=π。2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独2立，且Y～2(n)，Z～2(m)，则Y+Z～2(n+m)。 证明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互且都…、…、

服从N(0,1)，再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互性，令

2222+X2+2 Y=X12…+Xn，Z=Xn1+Xn2+…+Xnm， 2222+X2+2 Y+Z= X12…+Xn+ Xn1+Xn2+…+Xnm，

即可得到Y+Z～2(n+m)。

2. t分布 若X与Y相互，且

Y 的分布称为自由度等于n X～N(0,1)，Y～2(n)，则Z =Xn的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度 P(z)=

n11(n2)z212 nnn(2)。

请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与

标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F分布 若X与Y相互，且X～2(n)，Y～2(m)，

X 则Z=

nY的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的Fm分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度

nmnnmn2m212z2,z0 p(z)=nmnm(mnz)2220,其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，

1～F (m ,n)。 Z4. t分布与F分布的关系

2若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。 证：X～t(n)，X的分布密度p(x)=

n12nnπ2n1x212 。 n Y=X2的分布函数FY(y) =P{Y当y0时，FY(y)=0，pY(y)=0；

当y>0时，FY(y) =P{-y=2yyp(x)dx=20p(x)dx，

n11n1n22y2pY(y)=

1n1n22(ny)2y Y=X的分布密度

，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，

2因此Y=X～F(1,n)。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4. 常用分布的分位数 1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，

它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα， 上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ， 双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α；

F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x 0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x 1-0.5α。 2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u 1-0.5α。

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α， P{XP{X如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u 1-α。 论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< u α}= F 0,1 (u α)=α，

P{X< u 1-α}= F 0,1 (u 1-α)=1-α， P{X> u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α，

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u 1-α。 例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，

u 0.05=-u 0.95=-1.5， u 0.01=-u 0.99=-2.326， u 0.025=-u 0.975=-1.960， u 0.005=-u 0.995=-2.576。

又因为P{|X|< u 1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u 1-0.5α和-u 1-0.5α。

标准正态分布常用的上侧α分位数有：

α=0.10，u 0.90=1.282； α=0.05，u 0.95=1.5； α=0.01，u 0.99=2.326； α=0.025，u 0.975=1.960； α=0.005，u 0.995=2.576。

3）卡平方分布的α分位数记作2α(n)。

当X～2(n)时，P{X<2α(n)}=α。 2α(n)>0，

例如，20.005 (4)=0.21，20.025 (4)=0.48， 20.05 (4)=0.71，20.95 (4)=9.49， 20.975 (4)=11.1，20.995 (4)=14.9。 4）t分布的α分位数记作tα(n)。

当X～t (n)时，P{Xtα(n)=-t 1-α(n)，论述同uα=-u 1-α。 例如，t 0.95 (4)=2.132，t 0.975 (4)=2.776， t 0.995 (4)=4.604，t 0.005 (4)=-4.604，

t 0.025 (4)=-2.776，t 0.05 (4)=-2.132。

另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)的近似值。

5）F分布的α分位数记作Fα(n , m)。 Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X另外，当α较小时，在表中查不出Fα(n, m)，须先查 F1-α

1(m, n)，再求Fα(n, m)=。论述如下：

F1(m,n)当X～F(m, n)时，P{X< F 1-α(m, n)}=1-α，

1111>}=1-α，P{<}=α， XF1(m,n)XF1(m,n)11又根据F分布的定义，～F(n, m)，P{XX1因此 Fα(n, m)= 。

F1(m,n)P{

例如，F 0.95 (3,4)=6.59，F 0.975 (3,4)=9.98， F 0.99 (3,4)=16.7，F 0.95 (4,3)=9.12， F 0.975 (4,3)=15.1，F 0.99 (4,3)=28.7， F 0.01 (3,4)=

111，F 0.025 (3,4)=，F 0.05 (3,4)=。 28.715.19.12 【课内练习】

1. 求分位数①20.05(8)，②20.95(12)。 2. 求分位数① t 0.05(8)，② t 0.95(12)。 3. 求分位数①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。

4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6. 若X～2(4)，P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。

7. 若X～F(5,3)，P{X<9.01}=0.95，Y～F(3,5)，{Y<5.41}= 0.95，试写出有关的分位数。

8. 设X1、X2、…、X10相互且都服从N(0,0.09)分布, 试求P{Xi2>1.44}。

i 习题答案：1. ①2.73，②21.0。2. ①-1.860，②1.782。 3. ①4.1，②3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双88侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分

位数，9.101与5.41为双侧0.1分位数，5.1与9.01为双侧0.1分位数。8. 410.1。