第３５卷第ｌ２期 ２０１６年ｌ２月 大学 物 理 ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ ＶｏＩ．３５ ＮＯ．Ｉ２ Ｄｅｃ．２０ｌ６ 电子相对论径向波函数的基本特征 刘晓斌，师应龙，邢永忠，路飞平 （天水师范学院物理系，甘肃天水７４１００１） 摘要：利用相对论平均自洽场理论，研究了电子相对论径向波函数的基本特征．电子相对论径向波函数大小分量的数量级 通常相差悬殊且不“同步”，核外电子的径向分布没有严格的零概率点；束缚电子相对论径向波函数大小分量的节点个数为 ｎ—ｌ－１、波腹个数为ｎ－ｌ，而自由电子的节点和波腹数则趋于无穷大．电子相对论径向波函数反映了相对论效应的基本特征：相 对论效应越强，小分量振幅相对越大，自由电子径向波函数振荡越剧烈． 关键词：狄拉克方程；相对论自洽场；径向波函数；节点；波腹 中图分类号：０ ５６２．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－０７１２（２０１６）１２一Ｏ０１９—０４ 量子力学的基本原理之一，就是微观体系的状态 可用希尔伯特空间的波函数完全描述，从波函数可以 得到微观体系的所有性质：只要知道波函数，则体系 的其他物理量如能量、截面以及跃迁概率等原则上均 可确定．作为量子力学的基本方程，薛定谔方程深刻 地揭示了微观世界物质运动的基本规律，打破了以往 看来十分神秘的微观世界，为波动力学的建立奠定了 基础．实验表明，只要微观粒子的运动速度远比光速 小，薛定谔方程就是一个很好的近似，可成功地描述 许多微观现象，甚至对低能核物理中的一些现象也能 做出令人满意的解释．但研究高能粒子的行为须用相 对论量子力学，此时描述微观粒子运动的波动方程对 洛伦兹变换必须协变，而薛定谔方程中时间和空间并 性，足够大的动量将使粒子的能量大于其二倍静止能 量并导致粒子的产生，此时讨论单粒子的问题将失去 精确的物理意义；为克服负能态的困难，狄拉克对“真 空”做了新的理论解释：真空并非一无所有，真空是没 有任何场量子被激发的状态，或所有的场都处于基态 即为物理上的“真空”．狄拉克“真空”不空的物理思想 包含了极为丰富的物理内容，任何物理上可测量到的 量相当于对“真空”态的偏离．所以在相对论情形中场 的概念不可避免，理论内在的自洽性要求将狄拉克方 程理解为场方程，再进行量子化．尽管如此，在一些问 题中如果粒子的产生和湮没等现象的影响不是很严 重，狄拉克方程的单粒子理论还是取得了很大成功： 狄拉克方程隐含了电子自旋，从理论上可直接得出电 子存在自旋运动及内秉磁矩，并预言了正电子的存在 非对称，对时间坐标的求导为一次，而空间为二次，很 显然不符合相对论协变性要求¨ ．狄拉克方程就是为 了推广薛定谔方程使其符合相对论协变性要求而提 出的，是相对论性的量子力学波动方程－ｚ ．对于高能 等．正因如此，狄拉克方程在很长时间内被人们视为 唯一值得信赖的相对论波动方程． 领域如核聚变、粒子的高能碰撞以及高温等离子体 等，由于粒子的速度非常高，相对论效应十分明显，此 时粒子的运动须用狄拉克方程描述． １ 理论方法 原子的能量由组成原子的各粒子间的相互作用 决定，而通常这种相互作用非常复杂，如果不进行必 与非相对论性的薛定谔方程相似，如果将狄拉克 方程中的 看作态的波函数，则 为概率密度，可 将狄拉克方程作为单粒子运动的波动方程，这也能说 要的简化，就会使相关的理论研究变得极为困难甚至 不可能．早期采用单电子零级近似：忽略了电子问的 相互排斥作用，认为各电子在原子核外完全“” 地运动，这种近似处理与客观实际相差较大，其结果 明氢能级的精细结构等重要的物理问题．但将 理解为概率密度意味着在一定程度上粒子有确定的 位置，根据不确定关系其动量必存在一定的不确定 必然相当粗糙．合理可行的方法就是采用电子的 中心场模型：考虑了电子间的相互排斥作用，但将这 收稿日期：２０１６—０３－２２；修回日期：２０１６—０５—３Ｏ 基金项目：国家自然科学基金（１１２６４０３３，１１４６４０４０，１１２６５０１３）、甘肃省高等学校科研项目（２０１４Ａ一１０４）、甘肃省自然科学基金 （１５０６ＲＪＺＥ１１２）资助 作者简介：刘晓斌（１９７３一），男，甘肃天水人，天水师范学院电子信息与电气工程学院物理系副教授，主要从事原子物理的教学及研究工作． ２Ｏ 大学种相互作用作了必要的理论简化处理，认为电子 地在原子核与其他电子的平均势场中运动，其他电子 对第ｉ个电子的排斥作用从原子核发出，显然这种理 论模型比单电子零级近似更接近物理实际．中心场近 似为简化多电子原子提供了一个相当成功的量子力 学模型，在物质结构的理论研究中得到了广泛应用． 在中心场模型下，如果知道原子中相关电子的波函 数，即可通过一定的理论计算而知道电荷分布，并进 一步推导出其激发的平均势；根据平均势也可以计算 出电子的电荷分布、进而知道波函数．这说明原子中 电子的波函数与平均势相互依存并彼此制约：电子波 函数所确定的平均势与由平均势所确定的波函数必 须相互协调或自洽，这就是自洽场（ｓｅｌｆ－ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｉｆｅｌｄ，ＳＣＦ）理论的物理思想．满足这个条件的微观体 系的平均势能场称为自洽场，按照这种物理思想所设 计的计算方法为自洽场方法．自洽场理论模型更好地 考虑了电子问的相互作用，其计算结果通常具有很高 精度．相对论自洽场理论本质上是电子的平均自 洽场模型，与非相对论性自洽场理论模型下的电子波 函数不同，单电子的相对论波函数为 ，＝÷［ ｒｒ） ］ ㈩２计算结果及讨论Ｐ （ｒ）和Ｑ （ｒ）为相对论径向波函数的大小分量， （Ｐ／ｒ）和 …（Ｐ／ｒ）为大小分量的角向一自旋函数； ｎ为主量子数，，ｃ为表示单电子角动量和宇称的复 合相对论量子数，与总量子数． 有如下关系： Ｋ＝ ， 电子的中心场模型最多是一种理论近似（仅对 氢原子严格成立，对其他原子则未必如此）：没有很 好地考虑电子问的相互关联，例如减小平行自旋电 子相互接近概率的泡利关联、电子间相互作用的库 仑关联等 ；原子中的相关电子除受到核的中心势 外，通常还会受到自旋一轨道、核自旋、外电磁场以 及电子间的相互排斥等非中心势的作用 ．在中心 场近似下，电子相对论波函数的角向和径向部分可 分离，分离后的相对论角向波函数对所有原子均相 同，而不同原子或相同原子不同状态的相对论径向 波函数通常不同，即相对论径向波函数的求解更具 物理上的实际意义．当电子在中心场Ｕ（ｒ）中运动 时，狄拉克方程可表示为 ｉ÷ （ｒ）＝［ ・ ＋ｔｉｍ＋Ｕ（ｒ）］ （ｒ）＝自 （ｒ）（３） 和卢为无量纲的厄米矩阵，其本征值为±１； 为电 物理 第３５卷 子运动的动量算符，ｍ为质量；当 （ｒ）＝０时即为自 由电子的狄拉克方程．由式（２）可以看出 为４分量 的波函数，即狄拉克方程，实际为４个联立的微分方 程．由于 （ｒ）为中心势，将式（３）在球坐标中分离变 量，则径向波函数的狄拉克方程为２个联立的一阶 微分方程 ： ｆ、 ｏｒ 一旱＋ １／ Ｑ （ｒ）＝（ 一１一 。 （ｒ））Ｐ （ｒ） ｆ、 ＋Ｑｒ ，， １ Ｐ （ｒ）＝（ ＋卜Ｖ （ｒ））Ｑ （ｒ）（４） 为电子在ｎＫ相对论次壳层的轨道能量， （ｒ）为 自洽势；通常束缚态电子只能处于原子核外一定区 域，电子在非常靠近和远离核的区域出现的概率几 乎为零，而自由电子的波函数则可延伸到无穷远处． 对多电子原子中的束缚电子，此方程只能通过自洽 场迭代数值求解；自由电子由于其动能已知，不需通 过迭代过程而只需积分即可得到波函数．一般而言， 自洽场势有多种近似方法 ，但主要为起决定作用 的核吸引的库仑势、较小的电子一电子排斥库仑势 以及局部交换势． 利用上述理论方法，本文研究了相对论径向波 函数的基本特征．主要内容包括以下两方面． ２．１相对论径向波函数的一般特征 狄拉克方程中的波函数为４分量函数，在中心场 近似下可将电子相对论波函数的角向和径向部分分 离．图１是Ｎａ（１ｓ ２ｓ ２ｐ。３ｓ）的３ｓ电子及Ｎａ （１ｓ ２ｓ ２ｐ。）的势场中动能为８＝０．００１ Ｈａｒｔｒｅｅ的自由 电子相对论径向波函数的大分量Ｐ（ｒ）和小分量 Ｑ（ｒ）；为便于比较，我们将径向波函数的小分量Ｑ（ｒ） 乘了５０（后面有类似情况）；径向距离和电子能量采 用了原子物理的理论研究中通常采用的原子单位，分 别为ａ０＝０．５２９ｘ１０。。 ｍ和８０＝２７．２１１ ｅＶ＝１ Ｈａｒｔｒｅｅ． 可以看出：电子相对论径向波函数的大分量与小分量 的数量级相差非常悬殊，在通常情况下大分量起主导 作用；与非相对论的情况相同，束缚电子相对论径向 波函数大小分量均有ｎ—ｚ一１＝３—０—１＝２个节点、 ｎ—ｚ＝３－０＝３个波腹，当径向距离增大到一定程度时 径向波函数迅速趋于零；自由电子相对论径向波函数 的大小分量有无穷多个节点和波腹，在靠近核的区域 波函数振幅较小，远离核时波函数振幅略有增大趋 势；相对论径向波函数的大小分量明显地不同步，即 在相对论情况下核外电子的径向概率分布Ｐ。（，）＋ 第１２期 刘晓斌，等：电子相对论径向波函数的基本特征 ２１ Ｑ （ｒ）没有严格意义的零概率点．这是因为自由电子 可到达原子核外任何距离处，波函数可以延伸到无穷 远，其主量子数１７，由于失去确定性而趋于无穷大，相 对论径向波函数大小分量的节点数尼一ｚ一１及波腹数 量径向波函数的振幅相对较大，而且径向波函数 沿靠近核的空间被严重压缩．对此不难理解：较大 的有效核电荷将导致相关电子只能在更靠近核的 区域运动，即波函数沿靠近核的径向空间被压缩， 而相对论效应的增强使径向波函数的小分量也有 所增加． ｎ—ｆ即为无穷，具体表现为波函数振荡剧烈；束缚电 子通常只能处于原子核附近的一定区域，其主量子数 ｎ具有确定值，相对论波函数大小分量的节点和波腹 数也确定．通常情况下，自由电子由于距离原子核较 远，很难靠近原子核，从而使其在近核区域的径向波 函数振幅较小，这也是主量子数ｎ较大时束缚电子波 函数所具备的基本特征． 图１ Ｎａ（１ ｓ ２ｓ ２ｐ ３ｓ）的３ｓ电子以及Ｎａ （１ ｓ ２ｓ ２ｐ ）的势场中动能为Ｏ．００１Ｈａｒｔｒｅｅ的自由电子 ｓｓ的相对论径向波函数的大小分量．为便于比 较，小分量径向波函数乘了５０ ２．２相对论效应较强时径向波函数的特征 束缚电子所感受到的核势场越强、自由电子 的动能越大，则意味着相对论效应越明显．图２是 Ｆｅ （１Ｓ２２ｓ ２ｐ。３ｓ）的３ｓ电子相对论径向波函数的 大小分量，由于Ｆｅ” （１ ｓ ２ｓ ２ｐ。３ｓ）为高离化态离 子，其离化度较高，核外电子所感受到的有效核电 荷较一般离子（原子）的大的多，即相对论效应对 电子的影响应较强．与图１中Ｎａ（１ｓ ２ｓ ２ｐ。３ｓ）的 ３ｓ电子相比，可以发现两者３ｓ电子的径向波函数 十分相似，但Ｆｅ” （１ Ｓ２２ｓ ２ｐ。３ｓ）的３ｓ电子的小分 图２ Ｆｅ （１ ｓ ２ｓ ２ｐ ３ｓ）的３ｓ电子相对论径向波函数 图３是动能为 ＝１ Ｈａｒｔｒｅｅ和占＝１００ Ｈａｒｔｒｅｅ ０ ｎ 的自由电子８ｐ（ ＝１．５）在Ｆｅ （１ Ｓ２２ｓ ２ｐ ）的势场中 运动时的相对论径向波函数．通常自由电子的动能 越大，相对论效应就越明显，主要表现为径向波函数 振荡更为剧烈、其小分量的振幅也相对较大，而这正 是图３所表示的． ０．００ ０．２５ ０．５０ ０．７５ １．００ ｒ／ａ．Ｕ． 图３ Ｆｅ“ （１ｓ ２ｓ ２ｐ ）的势场中动能分别为ｓ＝１ Ｈａｒｔｒｅｅ和 ｓ＝１００ Ｈａｒｔｒｅｅ的自由电子Ｅｐ（ｊ＝１．５）的相对论径向波函数 ２２ 大学物理 第３５卷 ３ 结论 利用相对论平均自洽场理论，研究了电子相 参考文献 褚圣麟．原子物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社， １９７９：８９—９１． 对论径向波函数的主要特征．电子相对论径向波 函数的大分量与小分量的数量级通常相差非常 悬殊，且大小分量沿径向空间的变化并不“同 步”；与非相对论的情形相同：相对论径向波函数 的大小分量均有ｎ－ｌ一１个节点、ｎ—ｚ个波腹，但自 由电子则由于其主量子数失去确定性而趋于无 穷大，其节点和波腹个数必然为无穷大．通常相 对论效应越强则电子相对论径向波函数小分量 振幅相对地越大、自由电子波函数振荡越剧烈， 而核库仑势的增强及电子动能的增大意味着相 对论效应更为明显． 柯善哲，蔡建华．量子力学（下）［Ｍ］．北京：高等教育 出版社，１９９２：３４６—３５０，３６２． Ｄｙａｌｌ Ｋ Ｇ，Ｇｒａｎｔ Ｉ Ｐ，Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｃ Ｔ，ｅｔ ａ１．Ｇｒａｓｐ：Ａ ｇｅｎ－ ｅｒａｌ—ｐｕｒｐｏｓｅ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ａｔｏｍｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｏｇｒａｍ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔ Ｐｈｙｓ Ｃｏｍｍｕｎ，１９８９，５５：４２５－４５６。 唐纳德Ｊ Ｐ．高激发原子［Ｍ］．詹明生，王谨，译．北京： 科学出版社，２００３：１０．１１． 徐克尊．高等原子分子物理学［Ｍ］．北京：科学出版 社，２０００：９３—９５． 李家明，赵中新．变价稀土元素Ｌ，Ｍ，Ｎ内壳层电子束 缚能的变化［Ｊ］．物理学报，１９８２，３１（１）：９７－１０３． 方泉玉，颜君．原子结构、碰撞与光谱理论［Ｍ］．北 京：国防工业出版社，２００６：１４４．１５４． Ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＬＩＵ Ｘｉａｏ—ｂｉｎ，ＳＨＩ Ｙｉｎｇ—ｌｏｎｇ，ＸＩＮＧ Ｙｏｎｇ－ｚｈｏｎｇ，ＬＵ Ｆｅｉ—ｐｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ，Ｇａｎｓｕ ７４１００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌＹ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ａｖｅｒａｇｅ ｓｅｌｆ—ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｆｉｅｌｄ．Ｕｓｕａｌｌｙ。ｔｈｅ ｓｍａｌｌ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｒａ— ｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｍａｇｎｉｔｕｄｅｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ，ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ，ＳＯ ｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｈａｓ ｎｏ ｅｘａｃｔ ｚｅｒｏｓ．Ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｏｄｅｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｌａｒｇｅ—ｏｒ ｓｍａｌｌ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｉｓ ｎ—ｌ一１，ＳＯ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ａｎｔｉｎｏｄｅｓ ｉｓ ｎ—ｌ，ｂｕｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｏｄｅｓ ａｎｄ ａｎｔｉｎｏｄｅｓ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｊｕｓｔ ｔｕｒｎ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ．Ｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｅｆｆｅｃｔｓ，ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｆ ｓｍａｌｌ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｅｆｆｅｃｔｓ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ＯＳ— ｃｉ］ｌａｔｉｎｇ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｌａｒｇｅ，ｓｍａｌｌ—ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｄｉｒａｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｓｅｌｆ—ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｆｉｅｌｄ；ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｎｏｄｅ；ａｎｔｉｎｏｄｅ （七接１２页） Ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｒａｎｇｅ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｓｏｍｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄｓ’ｍｏｖｅｍｅｎｔ ＬＵ Ｊｕｎ—ｌｉｎｇ，ＱＩＮ Ｌｉａｎ—ｈｕａ，ＲＥＮ Ｎａｉ－ｊｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １ ０００８４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄｓ’ｍｏｖｅｍｅｎｔ ａｒｅ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｃｏｌｌｅｇｅ ｐｈｙｓｉｃｓ．Ａ ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄ ｉｓ ａｎ ｉｄｅａｌ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｏｎｅ，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｂｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ａｔ ｓｏｍｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄ．Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｒａｎｇｅ ｐｏｉｎｔ．Ｉｆ ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｒａｎｇｅ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄａｒｉｓｅ．Ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｈｅｒｅ ｂｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｈｙｓｉｃｓ ｍｏｄｅｌ；ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｒａｎｇｅ ｐｏｉｎｔ；ｓｏｆｔ ａｎｄ ｔｈｉｎ ｃｏｒｄ；ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ ｍａｓｓ ，ｓｏｍｅ ｍｉｓｔａｋｅｓ ｍａｙ
