均值不等式求最值的常用技巧

一．基本不等式的常用变形

112x2x (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x (当且仅当

1.若x0，则

x_____________时取“=”）

若x0，则

x1112即x2或x-2xxx (当且仅当____________时取“=”）

ab2ab0b2.若，则a (当且仅当____________时取“=”）

ababab2即2或-2baba若ab0，则ba (当且仅当_________时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

二、利用基本不等式求最值的技巧：

技巧一：直接求：

例

xy1x,yR341 已知，且满足，则

xy的最大值为 ________。

1

解：因为xyxy23434x>0，y>0，所以

xy3xy34，(当且仅当即x=6，y=8时取等号)，

xy于是31，xy3.，故

xy的最大值3.

11变式：若logxlog，求x44y2y的最小值.并求x,y的值

解：∵log4xlog4y2 log4xy2 即xy=16

1x1y211xy2xy12 当且仅当x=y时等号成立

技巧二：配凑项求

5例2：已知

x4，求函数y4x214x5的最大值。

x54,54x0，

y4x214x554x1解：

54x3231 当且仅当

54x154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。例3. 当时，求yx(82x)的最大值。

解：

2

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

32，求函数y4x(32x)的最大值。

变式：设

0x932x32xy4x(32x)22x(32x)20x22 2∴32x0∴解：∵

2当且仅当2x32x,即

x330,42时等号成立。

x27x10y(x1)x1例4. 求的值域。

解：

当,即时,

y2（x1)459x1（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

练习：1、已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；

23，求函数yx(23x) 2、

0x技巧三：“1”的巧妙利用

错解：．．

191991xyxy22xy12xymin12x0,y0，且xyxyxy， 故  。

3

错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2xy等号成立条件是x1992y，在xyxy19

xy即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等等号成立条件是

式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

19y9x191061016x0,y0,1xyxyxyxyxy，

19y9x1xyxy当且仅当时，上式等号成立，又，可得x4,y12时，xymin16 。

变式： （1）若x,yR且2xy111，求xy的最小值

(2)已知a,b,x,yRab1xy且，求xy的最小值

191x0,y0xy2：已知，且，求xy的最小值。

113是3a与3b的等比中项，则ab的最小值为（ ）(3) 设a0,b0.若．

1A ．8 B ．4 C． 1 D． 4

ab解析：因为333，所以ab1。

4

1111bababa(ab)()2224a0,b0,abababab又所以，当且仅当ab即

ab12时取“=”。故选（Ｂ）．

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

x25ayf(x)xx24的值域。 x的单调性。例：求函数

解：令x25yx24t(t2)，则x24x241t(t2)tx24

111t0,t1t2,t因，但t解得t1不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为

yt51y2。t在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

5,2所以，所求函数的值域为。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

11x23x1y2sinx,x(0,)y2x,x3y,(x0)xsinxx3（1） （2） (3)

的最大值.

5

技巧六、已知x，y为正实数，且x 2＋y 2

2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2

2

。

同时还应化简

1y 2 ＋ 22

1

1＋y 2 中y2前面的系数为 ， x2

1＋y 2 ＝x

1＋y 22· ＝

2

2 x·

下面将x，12

＋

y 2

2

分别看成两个因式：

x·

1y 2

＋ ≤22

x 2＋(1y 2

＋ )2222y 21

x 2＋ ＋

223

＝ ＝ 即x24

1＋y 2 ＝2 ·x

1y 23

＋ ≤ 224

2

技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求

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出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b法一：a＝ ， ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1

由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥

ttt2

16

t· ＝8

t∴ ab≤18 ∴ y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab

令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

18

1

abab（a,bR）2点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②

（a,bR）aba2b30如何由已知不等式出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间

abab（a,bR）2的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进

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而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧八、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2

≤

a 2＋b 2

2

，本题很简单

3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝

10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤20 ＝25

15y2x152x(x)22的最大值。 变式: 求函数

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解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8

又y0，所以0y22 32时取等号。 故ymax22。

当且仅当2x1=52x，即

x评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

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