南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题(附答案)

数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸指定的位置上.

1.已知集合A{1,2,3,4},B{x|x2x20}，则AB 2. 已知复数z满足z(1i)3i，其中i为虚数单位，则复数z的模z 3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段的时速超过50km/h的车辆数为 辆. （ ）

4. 如下图所示的流程图中，输出的S为

5.函数fxlog1(2x3)的定义域是

26. 袋中有形状、大小相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为

7.已知正四棱锥的底面边长为4cm，高为5cm，则该四棱锥的侧面积是 cm2

xy48. 设变量x,y满足约束条件yx，若目标函数zaxy的最小值为2，则a

x19. 设函数fx33sin2wxsinwxcoswx(w0)，且yfx的图象的一个对2称中心到最近的对称轴的距离为

，则fx在区间[,0]上的最大值为

44S21 S1410. 设Sn是等比数列an的前n项和，若满足a43a110，则

311. 若ba1且3logab6logba11，则a2的最小值为 b12212.已知P是圆xy1上的一动点，AB是圆(x5)(y12)4的一条动弦（A,B是直径的两个端点），则PAPB的取值范围是

13. 设fxax4x，对x[1,1]总有fx1，则a的取值范围是

32214.在ABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若

2sin2B3sin2C2sinAsinBsinCsin2A，则tanA

第Ⅱ卷（共80分）

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2(sinCsinA)sinB. （1）求

b的值； ca2,BABC3，求ABC的面积. 21AB. 2（2）若b16. 如图，在四棱锥PABCD中,CD//AB,ADDC（1）若M是PB的中点，求证：CM//平面PAD； （2）若CDAB,BCPC，求证：平面PAC平面PBC.

17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米圆心角为（弧度）的扇形景观水池，其中O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元. （1）当r和分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值； （2）若要求步道长为105米，则可设计出水池最大面积是多少.

x2y2532518. 平面直角坐标系中，椭圆C:221(ab0)过点(. ,)，离心率为ab225（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A,B两点，过A,B点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A1,B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

19.设fxesinxax,x[0.2](a为常数）.

x（1）当a0时，求fx的单调区间；

（2）若fx在区间(0.2)的极大值、极小值各有一个，求实数a的取值范围. 20.设an是各项均不相等的数列，Sn为它的前n项和，满足

nan1Sn1(nN,R).

（1）若a11，且a1,a2,a3成等差数列，求的值； （2）若an的各项均不相等，问当且仅当为何值时，a2,a3,试说明理由. 21.选做题

A.如图，AB为O的直径，D为O上一点，过D作O的切线交AB的延长线于点C， 若DADC ，求证：AB2BC.

,an, 成等差数列？

B.已知矩阵A11，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0,1)， a1求矩阵A的两个特征值. C.已知点P是曲线C:x2cos(为参数，2）上一点，O为原点，若直线

y3sinOP的倾斜角

，求点P的直角坐标. 3222D.已知实数x,y,z满足xyz2，求2x3yz的最小值.

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.某小组共10人，利用暑假参加义工活动，已知参加义工活动此时为1,2,3的人数分别为

3,3,4，现从10人中学车2人作为该组参加座谈会.

（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A的发生的概率； （2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

23.（1）设(1xx2)3a0a1xa2x2a6x6，求a2,a3.

（2）设x(252155)20(252155)17，其x的整数部分的个位数字.

试卷答案

一、填空题

1. 3,4 2.5 3 .77 4 .

25357 5 .(,2] 6 . 7 .24 8 .2 9.1 10 11.221

2661212 .140,192 133 14.1 二、解答题

15.解：（1）由正弦定理，2(ca)bb2； ca2(ca)bca1ca1a1222（2）b2， acb322c2ac5ca32ac2BABCcacosB2所以cosB3717，所以SacsinB. sinB442416.解（1）取AP的中点N，连接MN和DN，由因为M是PB的中点， 所以MN是PAB的中位线，所以MN//AB,MN由题意CD//AB,CD1AB， 21AB，所以MNCD,MN//CD， 2所以四边形MNDC是平行四边形，所以CM//DN.

(2)由题意，在直角梯形ABCD中，经计算可证得BCAC，又BCPC,AC,PC面

ACP， ACPCC,BC面ACP,又BC面PBC，所以平面PAC平面PBC.

17.解：（1）由题意，输出弧长AB为r，扇形面积为S12r， 2242由题意400r1000(2rr)2410，即r5(2rr)1200，

12即r2r22r，

2t2所以r122r1200，所以t2r，t0，则10t1200t40，

2222所以当r2r40时，面积S（2）即r2r10512r的最大值为400. 210522，r1052r代入可得 r15(1052r)r510512002r2105r6750r或r45，

2121105105210522r(r)又Sr(1052r)rr，

222416当r1510510522122与2不符，

152r()21. 3S在[45,)上单调，当r45时，S最大337.5平方米，此时a2b2c2a5x235y21. 18.解（1）由题意得221b1，所以椭圆的标准方程为54b4ac2c255a（2）①当直线AB的斜率不存在时，准线l:x59

,AB1与A1B的交点是(,0)； 24

②当直线AB的斜率存在时，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB为yk(x2)， 由yk(x2)22x5y5(15k2)x220k2x20k250，

20k220k2555A(,y),B(,y2)， ,xx所以x1x2，112222215k15ky2y1yy55(x)y2 ，lA1B:y21(x)y1 5522x1x2222520k2525x1x2245(1k2)915k44联立解得x， 20k2x1x2520(1k2)45215k所以lAB:y1代入上式可得

20k220k259k4k22k(x2x1)9k(x1x2)4kx2x120k15k15kyy20，

104x14x1104x110综上，直线AB1与A1B过定点(,0).

x19.解：（1）当a0时，fxe(sinxcosx)942exsin(x4)，

37,x2,fx单调增； 4437x,fx单调增， 令fx0，则443737),(,2)，单调递减区间为(,). 所以fx的单调递增区间为(0,4444令fx0，则0x（2）设gxfxe(sinxcosx)a，则gx2ecosx，

x2令gx0，则cosx0,0x3,223令gx0，则cosx0,x，

2233,2)，单调递减区间为(,). 所以gx的单调递增区间为(0,),(22223故gx在x处取得极大值，在x处取得极小值，

2233g0a1,g()ae2,g()ae2,g(2)ae2，

22x2，

所以g2g()g(0)g(23) 2①若g(以g(3)0，则fx0,fx在(0,2)上单调增，故fx在(0,2)无极值，所23)0； 23②若g()0，则fx在(0,2)内至多有一个极值点，从而g20,g()0，

2233),(,2)内fx分别有极大值、极小值各一个， 于是在区间(,222则在(0,

2)内无极值点，从而g00

a10g(0)0332g()0ae201ae2 ，所以的取值范围是1ae. 233ae20g()0220.解：（1）令n1,2，得a2a112，

2a3S21a1a21又由a1,a2,a3成等差数列，所以2a2a1a31a3， 解得35. 21

时，a2,a3,2

（2）当且仅当证明如下：

,an,成等差数列，

由已知nan1Sn1，当n2时，(n1)anSn11，

两式相减得nan1nannananan，即n(an1an)(1)an， 由于an个各项均不相等，所以

ann,(n2)， 1an1an当n3时，所以

an1(n1) 1anan1anan1， an1ananan1两式相减可得

1①当

1anan1，得，当n3时，所以2an1ananan1anan1an， 1an1ananan1anan1an0，所以an1ananan12anan1an1(n3)，

故a2,a3,,an,成等差数列.

②再证当a2,a3,,an,成等差数列，时，

1

， 2

因为a2,a3,,an,成等差数列，

所以an1ananan1(n3)，可得

anan1anan1， 1an1ananan1anan1anan11所以

1

， 2

1

时，a2,a3,2

所以当且仅当

,an,成等差数列.

22.A 解：连接OD，

因为DC为切线且点D为切点，所以BDCBAD， 因为OAOD, 所以OADODA 又因为ADDC 所以BCDOAD

故OADBDC，所以BCODR，从而AB2BC. B.解：11100，所以a11，即a2， a11a1111特征方程(1)220，因此12. 12x2y21， C.解：由题意得，曲线C的普通方程为432sin0y0，直线OP的方程为y3x， 2525xx5 （舍去）或5，

联立得y215y21555所以点P的坐标为(25215,). 55D.解：由柯西不等式可知：

(11112x3y1z)[()2()212](2x23y2z2)， 2323(xyz)22412所以2x3yz，当且仅当x,y,z时取等号.

111111111112322211C3C4C3211A22.解：（1）有已知得P(A)，所以事件的发生的概率为. 23C103（2）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,

21111C32C32C4C3C3C3C474P(X0),P(X1), 22C1015C101511C3C4P(X2)24，

C1015所以随机变量X的分布列为

数学期望为EX1. 23.解：(1)因为

0233(1xx2)3((1x)x2)3C3(1x)3C11x)2x2C3(1x)x4C3x， 3(21211所以a2C3C36,a1C3C3C27.

（2）令y(252155)20(252155)17，

则xyy(252155)20(252155)17(252155)20(252155)17

[(252155)20(252155)20][(252155)17(252155)17]

182(2520C202518620202C20(620)202(2517C17251562016C17(620)8),

已知xy为整数且个位数为0， 而025215552562050.2， 25所以0(252155)20(252155)170.2200.2171， 所以x的各位为9.