江苏省南京师范大学附属中学2017届高三上学期期中考试数学试题

理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答卷纸相应

位置上.

1.已知集合U{1,2,3,4}，A{1,3}，B{1,3,4}，则A(CUB)__________. 2.若复数z满足zi1i，则z的共轭复数是__________. 3.已知一组数据3,5,4,7,6，那么这组数据的方差为__________.

4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中有2只红球，2只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________.

5.如下图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则CAE的正切值为__________.

6.下图是一个算法流程图，则输出的k的值是__________.

xy207.若实数x,y满足条件xy0，则目标函数z3x4y的最大值是__________.

y3x2y28.若双曲线221（a0,b0）的一条渐近线经过点(3,4)，则此双曲线的离心率

ab为__________. 9.若cos(6)35，则cos()sin2()__________. 36610.在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB2，BC1，ABC600，点E和点

21且BEBC，则AEAF的值为__________. F分别在线段BC和DC上，DFDC，

36111.等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项的和为Sn，若log3[(S4m1)]9，则

214的最小值为__________. nm12.在平面直角坐标系数xOy中，点A(1,0)，B(4,0)，若直线xym0上存在点P，使得2PAPB，则实数m的取值范围是__________.

ex,x113.已知函数f(x)，g(x)kx1，若方程f(x)g(x)0有两个不同

f(x1),x1的实根，则实数k的取值范围是__________.

14.已知不等式(ax3)(xb)0对于任意的x(0,)恒成立，其中a,b是整数，则

2ab的取值集合为__________.

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分14分）

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且（1）求角A的值； （2）若ABC的面积为2bccosC. acosA3，且a5，求ABC的周长. 216.（本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，ACD900，BACCAD，PA平面ABCD，点E为

PD的中点.

（1）求证：平面PAC平面PCD； （2）求证：CE//平面PAB.

17.（本小题满分14分）

如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A,B在直径上，点，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损C,D在半圆周上）耗）.

（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （2）若要求圆柱子罐子的体积最大，应如何截取？

18.（本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B,C是椭圆221（ab0）上不同的

ab三点，A(10,10)，B(2,2)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上. 2（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标；

（3）设动点P在椭圆上（异于点A,B,C）且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，

证明OMON为定值并求出该定值.

19.（本小题满分1６分）

bn*a(2){a}{b}aaa{a}n3…已知数列n和n满足12（nN），若n为等比数列，且

a12，b36b2.

（1）求

an与bn；

cn11{c}Sanbn（nN*）

，记数列n的前n项和为n

（2）设（Ⅰ）求

Sn；

*（Ⅱ）求正整数k，使得对任意nN均有20.（本小题满分12分）

SkSn.

2f(x)x2alnx(aR)，g(x)2ax. 已知函数

（1）求函数f(x)的极值；

（2）若a0时，函数h(x)f(x)g(x)有且只有一个零点，求实数a的值； （3）若0a1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数

x1,x2，都有

f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)成立，求a的取值范围.

南京师大附中2016～2017学年度第一学期

高三年级数学期中试卷

一、填空题：

1．{1，2，3} 2．1i 3．2 4．

215 5． 6．5 7．1 8． 3339．32295e1 10． 11． 12．(,1)(1,e1] 14．[22,22] 13．{2,8} 331822二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

所以2sinBcosAsinB． 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以cosA1，因为0A，所以A． ………………7分 23（2）△ABC的面积为

3，且a5 21SbcsinA由2a2b2c22bccosA313bc222， 5b2c22bc12bc22(bc)7411．所以bc11……………12分 22bc7 周长 abc511 ………………14分 16．（本小题满分14分）

证明: （1）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD， ………………2分 又∠ACD＝90°，则CDAC，而PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC，因为CD平面ACD，………………4分 所以，平面PAC⊥平面PCD． ………………7分

（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA． 因为EM 平面PAB，PA平面PAB，

所以EM∥平面PAB． ………………9分

在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM， MC∥AB．因为MC 平面PAB，AB平面PAB，

所以MC∥平面PAB． ………………12分 而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．

由于EC平面EMC，从而EC∥平面PAB． ………14分 证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC＝∠DAC， AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以 EC∥PN． 因为EC 平面PAB，PN

平面PAB，

所以EC∥平面PAB ………………14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）如图，设圆心为O，连结OC，设BCx，

则 法一 易得AB2900x2，x(0， 30)，

故所求矩形ABCD的面积为 S(x)2x900x2 ………3分 2x2900x2≤x2900x2900（cm2）

（当且仅当x2900x2，x152（cm）时等号成立） 此时BC152 cm； ……6分

法二 设COB，0， ； 则BC30sin，OB30cos，

所以矩形ABCD的面积为S()230sin30cos900sin2， ………3分 当sin21，即时，S()max900（cm2）此时BC152 cm； ………6分

2900x（2）设圆柱的底面半径为r，体积为V，由AB2900x2r得，r， 2所以Vr2x1900xx3，其中x(0， 30)， ………9分

由V19003x20得x103，此时，V1900xx3在0， 103上单调递增，在

103， 30 上单调递减， 故当x103cm时，体积最大为60003 cm3，………13分

答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC为152cm为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC为103cm为时，圆柱体罐子的体积最大．………14分 18．（本小题满分16分）

10104a220,221,解：（1）由已知，得a 解得2 bb5.44221,bax2y2所以椭圆的标准方程为1． ………………4分

205（2）设点C(m,n)(m0,n0)，则BC中点为(m2n2,)． 22 由已知，求得直线OA的方程为x2y0，从而m2n2．① 又∵点C在椭圆上，∴m24n220．②

由①②，解得n2（舍），n1，从而m4． 所以点C的坐标为(4,1)．…8分 （3）设P(x0,y0)，M(2y1,y1)，N(2y2,y2)． ∵P,B,M三点共线，∴∵P,C,N三点共线，∴

y22(x0y0)y12，整理，得y1．………………10分 02y12x022y02x0y1x4y0y21，整理，得y20．………………12分 02y24x042y02x0∵点C在椭圆上，∴x024y0220，x02204y02．

2(x024y025x0y0)2(205x0y0)55 从而y1y222． …………………14分

x04y024x0y04164x0y0422525所以OMON5y1y2．∴OMON为定值，定值为． ………………16分

2219．（本小题满分16分）

解：(1)由题意a1a2a3…an＝(2)n，b3－b2＝6，知a3＝(2)

bb3－b2

＝8. 设数列{an}的公比为

q,又由a1＝2，得q2分

a3n*

q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2(n∈N)．…34，

a1n（n＋1）

所以，a1a2a3…an＝2

2

＝(2)

n(n＋1)．

*

故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N)． …………6分 1111111**

(2)(i)由(1)知cn＝－＝n－－(n∈N)．所以Sn＝－n(n∈N)． …10分 anbn2nn＋1n＋12(ii)因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝而得

－≤＝

1）1n（n＋－1， n2n（n＋1）>0，

n（n＋1）（n＋1）（n＋2）（n＋1）（n－2）

22

n22

5

n＋1

2

n＋1

n（n＋1）5×（5＋1）

n*

<1，所以，当n≥5时，cn<0.

综上，若对任意n∈N恒有Sk≥Sn，则k＝4. …………16分 20．（本小题满分16分）

2a2x22a（1）f'(x)2x xx当a0时，f'(x)0，f (x)在(0,)上递增，f (x)无极值 …………2分

当a0时，x(0,a)时，f'(x)0，f (x)递减；

x(a,)时，f'(x)0，f (x)递增，所以f (x)有极小值f(a)aalna

综上，当a0时，f (x)无极值；当a0时，f (x)有极小值f(a)aalna，无极大值 …………4分

2a2x22ax2a（2）h(x)x2alnx2ax，则h'(x)2x 2axx2aa24a因为a0，令h'(x)0，得x0，故h (x)在(0,x0)上递减，在(x0,)上

2递增，所以h (x)有极小值h(x0)0 x02alnx02ax00 …………6分 且2x02ax02a0 联立可得2lnx0x010 令m(x)2lnxx1，得m'(x)22211，故m (x)在(0,)上递增 xaa24a11a …………10分 又m (1) = 0，所以x01，即

22（3）不妨令1x1x22，因为0 < a < 1，则g(x1)g(x2) 由（1）可知f(x1)f(x2)，因为f(x1)f(x2)g(x1)g(x2) 所以f(x2)f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1) 所以h(x)f(x)g(x)x2alnx2ax在[1，2]上递增 所以h'(x)2x22a2a0在[1，2]上恒成立， …………12分 xx2x211即a在[1，2]上恒成立 令tx1[2,3]，则t2， ……14分

x1x1t2所以a(0,] …………16分

12