江苏省南京师范大学附属中学2017届高三数学模拟一

一、填空题：

21. 已知A1,2,3,Bx|x9，则AB__________.

2.已知复数zaiaR，i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的i取值范围是 __________.

3. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是__________.

4. 从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________.

5. 随机抽取年龄在10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则50,60年龄段应抽取人数为__________.

x2y21的焦点到渐近线的距离为 __________. 6.双曲线

1697.若函数fxasinx3sinx是偶函数，则实数a的值是 ________. 448.立方体ABCDA1BC11D1中，棱长为3,P为BB1的中点，则四棱锥PAAC11C的体积为 ___.

9.如图所示的梯形ABCD中，ABCD,AB4,AD3,CD2,AM2MD，如果ACBM3，则ABAD__________.

10.集合Ll|l与直线yx相交，且以交点的横坐标为斜率

，若直线l'L，点P1,2到直线l'的

最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为 _________.

1

111.设数列an的前n项的和为Sn，且an42成立，则实数x的取值范围是_________.

n1，若对于任意的nN都有1xSn4n3恒

12.在ABC中，已知sinA13sinBsinC,cosA13cosBcosC，则tanAtanBtanC的值为 __________.

13.设直线l与曲线C1:yex与C2:y__________.

1均相切，切点分别为Ax1,y1,Bx2,y2则y1y2 xex(xt)2xt14.函数fxx其中t0，若函数gxffx1有6个不同的零点，则实数t的

xt4取值范围是__________.

二、解答题：

15.已知ABC为锐角三角形，向量mcosA,ncosB,sinB，并且mn.

3 （1）求AB的值； （2）若cosB3,AC8，求BC的长. 516. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.

（1）若ABBC,CPPB，求证：CPPA； （2）若过点A作直线l平面ABC，求证：l平面PBC.

17. 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，毎年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.

（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

2

（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ (利润=累积收入+销售收入-总支出）

x2y218.已知椭圆C:221ab0.

ab

33（1）若椭圆的离心率为，且点1,2在椭圆上，①求椭圆的方程； 2

②设P1,3,R,S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M,N，2求直线MN的方程；

（2）设 Db,0过D点的直线l与椭圆C交于E,F两点，且E,F均在y的右侧，DF2ED，求椭圆

离心率的取值范围.

19.已知a,b是正实数，设函数fxxlnx,gxaxlnb. （1）设hxfxgx ，求 hx的单调区间； （2）若存在x0，使x0bab3ab且成立，求的取值范围. ,fxgx00a5420. 记等差数列an的前n项和为Sn. （1）求证：数列Sn是等差数列； n（2）若 a11，对任意nN,n2，均有Sn1,Sn,Sn1是公差为1的等差数列，求使整数的正整数k的取值集合；

Sk1Sk2为Sk23

（3）记bnaana0，求证：

b1b2...bnb1bn.

n2理科附加

21.从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数字之和. （1）求Y奇函数的概率； （2）求Y的概率分布和数学期望.

22. 已知数集Aa1,a2,...,an1a1a2...an,n4具有性质P:对任意的

k2kn,i,j1ijn，使得akaiaj成立.

（1）分别判断数集1,2,4,6与1,3,4,7是否具有性质P，并说明理由； （2）求证：a42a1a2a3 ； （2）若an72，求n的最小值.

4

江苏省南京师范大学附属中学2017届高三数学模拟一参

一、填空题

（每小题5分，共20分）

1. 1,2 2. 0，+ 3. 27 4. 9.

122 5. 2 6. 3 7. 3 8. 23322 10. x1y24 11. 2,3 12. 196 13. e2 14. 3,4 2二、解答题

15. （1）因为mn，所以mncosAcosBsinAcosBcosAB0 ，又因为

3330A,B2 ，所以 6A3B5，AB=，AB=； 6326（2） 因为cosB33,B0, ，所以sinB ，可得

552sinA4331433AC433 . ，由正弦定理可得BCsinAsinBsinB352521016. （1）因为平面PBC  平面ABC ，平面PBC  平面ABC=BC，AB平面ABC，

ABBC ，所以AB平面PBC.因为CP平面PBC，所以CPAB .又因为

CPPB,PBABB, AB,PC平面PAB,所以CP平面PAB,又因为PA平面PAB,所以CPPA.

(2)在平面PBC内过点P作PDBC,垂足为D,因为平面PBC平面ABC，

又平面PBC平面ABCBC,PD平面ABC，所以PD平面ABC,又l平面ABC，所以

lPD,又l平面PBC,PD平面PBC，所以l平面PBC.

17.解：（1）设大货车到第x年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，

22xN6xxx150,0x10,x20x500解得 则y25x，即，由yx20x501052x1052，而210523，故从第三年开始运输累计收入超过总收入.

（2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张年平均利润为

y2511252192x9,当且进当x5时等号成y25xx19x2519xxxxx立，即第五年底出售货车，年平均利润最大.

5

x23y21;② 由前知，yM18.解：（1）①,xN234，所以直线的方程为43y3233. x63x12y12a2b21x23b2x1（2）设Ex1,y1,Fx2,y2，因为DF2ED，所以，根据题意，，22y2y213b2x14y121a2ba23b2解得x1，连SD，延长交椭圆于点Q，直线SD的方程为xyb0，代入椭圆方程解得Q点

4b2a2ba23b22a2b42242220a4ab3b0ba3b的横坐标xQ2，所以，即，解得，即222ab4bab6c22c6a3ac，所以2,，所以椭圆离心率e的取值范围是0,. a3a3322219.解：（1）hxxlnxxlnba,x0,,h'xlnx1lnb，由h'x0得xbh'x在，ebb上单调递减，在0,,上单调递增. ee（2）由

ab3abb得7，由条件得hxmin0. 45a①当

abb3abeb3ebbb，即时，hxminha，由a0得4e54ea5eeeebb3ee,e. aa5e②当

bab4eab3abb,hx在时，a上单调递增，,e4a54abbabababhxminhlnlnbalnlnba4444e4e3bbab3eeb0，矛盾，不成立. 44eb由a0得.

e6

③当

b3abb3e5eab3abb，hx在，即时，a上单调递减， ,e5a5e3e543abb3ab3ab3abhxminhlnlnbalnlnba5555e5e2bbb3eb2ab2e3e时恒成立，综上所述，e7. b0，当a5ea553e20.解：（1）设等差数列an的公差为d，则Snna1nn1Sn1d，所以当n2d，从而na1n22时，

SnSn1n1n2dSa1da1d，即数列n是等差数列. nn1222n（2）因为的任意的nN,n2,Sn1,Sn,Sn1都是公差为1，的等差数列，所以公差为1，的等差数列，又a11,S11，所以SnSnN是

nS2n1n,Snn2，所以

Sk1Sk2Sk2k1k23k21，显然，k1,2满足条件，当k4时，因为22kk22k23k2kk32443220，所以0是整数，综上所述，正整数k的取值集合为1,2.

3k2Sk1Sk23k21，所以不112,222kkSk（3）设等差数列an的公差为d，则ana1n1d,bnan，所以

abnaanan1ad，即数列bn是bn1公比大于0，首项大于0的等比数列，记公比为qq0.以下证明：b1bnbpbk，其中p,k为正整数，

p1k1p1k1且pk1n，因为b1bnbpbkb1b1qb1qb1q1q1，所以

qp110,qk110，所以b1bnbpbk，当q1时，b1bnbpbk，当0q1时，因为yqx为减函数，p10,k10，所以qp1所以b1bnbpbk，综上，10,qk110，b1bnbpbk，

其中nb1bnb1bnb1bn...b1bnb1bnb2bn1b3bn2...bnb1

b1b2...bnbnbn1...b1，即

b1b2...bnb1bn.

n221.解：（1）记“Y是奇数”为事件A.能组成的三位数的个数为48，Y是奇数的个数为28，所以

7

PA2877，答：Y是奇数的概率为. 481212（2）Y的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，当Y3时，组成的三位数只能是0,1,2三个数组成，所以

41115，同理可得：PY4,PY5,PY6，481212624511PY7,PY8,PY9，所以Y的分布列为:

2488PY3Y P 3 4 5 6 7 8 9 511 2488111551125Y的数学期望：EY3456789.

12126242488422.解：（1）因为211,422,624，所以1,2,4,6具有性质P；因为不存在ai,aj1,3,4,7，使得3aiaj，所以1,3,4,7不具有性质P.

（2）因为集合Aa1,a2,...,an具有性质P，所以对a4而言，存在ai,aja1,a2,...,an，使得

1 121 121 65 24a4aiaj，又因为1a1a2a3a4...an,n4，所以aiaja3，所以a4aiaj2a3，同

理可得a32a2,a22a1，将上述不等式相加得：a2a3a42a1a2a3，所以a42a1a2a3. （3）由（2）可知a22a1,a32a2，又a11，所以a22,a34,a48,a516,a632,a772， 所以n8，构成数集A1,2,4,5,9,18,36,72orA1,2,3,6,9,18,36,72，经检验A具有性质P，故n的最小值为8.

8