2020新高考数学（理）二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习：统计与概率 考点过关检测二十 Word版含解析
2020新高考数学（理）二轮专题培优新方案主 考点过关检 攻 40 个必考点练习：统计与概率
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考点过关检测（二十）
1．(2019·唐山摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在［223，228]（单位：mm）内的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：
(1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件,记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1)由茎叶图可知,甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．
所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝错误!＝错误!. (2）由题意知，X可取0，1,2，3.
则P（X＝0）＝错误!＝错误!,P(X＝1)＝错误!＝错误!,
P(X＝2）＝错误!＝错误!,P(X＝3)＝错误!＝错误!.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 1P 错误! 2错误! 错误! 所以随机变量X的数学期望E（X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!。
2．（2019·江西红色七校第一次联考）某市某中学的环保社团参
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照国家环境标准制定了该市空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300）.
空气质量指数 空气质量等级 1级优 （0,50] （50， 100] （100（150， 150］ ， 200] (200， (250, 250］ 300］ 3级轻4级中 5级重 6级严 2级良 度污染 度污染 度污染 重污染 该社团将该市在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示,把该直方图所得频率估计为概率．
(1)请估算2019年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（2）该市于2019年12月25，26，27日举办一场国际会议，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用10万元，出现6级严重污染,则该天需要净化空气费用20万元，假设每天的空气质量等级相互，记这三天净化空气总费用为X万元，求X的分布列及数学期望．
解：(1）由直方图可得2019年(以365天计算）全年该市空气质量优良的天数为（0.002＋0.004)×50×365＝0。3×365＝109。5≈110。
(2)易知出现5级重度污染与6级严重污染的概率均为错误!，出
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现其他空气质量指数的概率为错误!,由题意可知，X的所有可能取值为0,10，20，30，40，50,60，
则P(X＝0）＝错误!3＝错误!，
P（X＝10)＝C错误!×错误!×错误!2＝错误!，
P(X＝20）＝C错误!×错误!2×错误!＋C错误!×错误!×错误!2＝错误!， P(X＝30)＝错误!3＋C错误!×错误!×C错误!×错误!×错误!＝错误!， P(X＝40)＝C错误!×错误!2×错误!＋C错误!×错误!2×错误!＝错误!, P（X＝50）＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!, P（X＝60)＝错误!3＝错误!。
所以X的分布列为
X P 0 错误! 10 错误! 20 错误! 30 40 50 60 错误! 49273 1 0001 0001 000E(X)＝0×错误!＋10×错误!＋20×错误!＋30×错误!＋40×错误!＋
50×错误!＋60×错误!＝9(万元)．
3．(2019·合肥模拟)为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学,血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．
方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．
方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位,后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．
（1）求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
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（2）η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．
解:设Ai(i＝1，2,3，4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2，3）表示方案乙所需化验的次数为j次,方案甲与方案乙相互．
（1)P(A1)＝P(A2)＝P（A3)＝P（A4)＝错误!，P（A5）＝错误!，
P(B2）＝错误!＋错误!＝错误!，P(B3）＝1－P(B2）＝错误!，
用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数， 1
则P(D）＝P（A2B2＋A3B3）＝P（A2）P（B2)＋P(A3)P（B3）＝×错误!
6＋错误!×错误!＝错误!.
（2）η的可能取值为1，2，3,4,5。ξ的可能取值为2，3。 由(1)知P（η＝1）＝P(η＝2）＝P(η＝3)＝P(η＝4）＝错误!，
P(η＝5）＝错误!，
所以E（η）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＋5×错误!＝错误!,P（ξ＝2）＝P(B2）＝错误!，P（ξ＝3)＝P(B3）＝错误!，所以1
E(ξ)＝2×＋3×错误!＝错误!。
3
因为E(ξ）〈E(η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳． 4．(2019·长春实验高中二模）某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、北海(广西）、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔各答、内罗毕、雅典和威尼斯共13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房,根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．
（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．
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(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n(10≤n≤13，n∈N*），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
月需求量(单位:万件) 月份数 100 110 120 130 6 24 18 12 若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
解：（1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则P(A)＝1－P(错误!)＝1－错误!＝错误!,
∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为错误!. (2)设该产品每月的总利润为Y,
①当n＝10时，产品可完全售出，故Y＝100×10＝1 000万元． ②当n＝11时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50＝950万元,
月需求量为110万件及以上时，获利Y＝100×11＝1 100万元．
P（Y＝950）＝错误!＝0.1，
P(Y＝1 100)＝1－P(Y＝950）＝1－0.1＝0.9。
∴Y的分布列为
Y 950 1 100 P 0。1 0.9 ∴E（Y）＝950×0。1＋1 100×0。9＝1 085万元．
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③当n＝12时，
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×2＝900万元， 月需求量为110万件时,获利Y＝100×11－50＝1 050万元, 月需求量为120万件及以上时，获利Y＝100×12＝1 200万元．
P(Y＝900)＝错误!＝0。1，P(Y＝1 050)＝错误!＝0。4, P（Y＝1 200）＝错误!＝0。5。
∴Y的分布列为
Y 900 1 050 1 200 P 0.1 0。4 0.5 ∴E（Y）＝900×0。1＋1 050×0.4＋1 200×0。5＝1 110万元． ④当n＝13时,
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×3＝850万元， 月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50×2＝1 000万元， 月需求量为120万件时,获利Y＝100×12－50＝1 150万元， 月需求量为130万件时，获利Y＝100×13＝1 300万元．
P(Y＝850)＝错误!＝0.1，P(Y＝1 000）＝错误!＝0。4, P（Y＝1 150）＝错误!＝0。3，P(Y＝1 300）＝错误!＝0.2。
∴Y的分布列为
Y 850 1 000 1 150 1 300 P 0。1 0。4 0.3 0。2 ∴E(Y）＝850×0.1＋1 000×0。4＋1 150×0.3＋1 300×0。2＝1 090万元．
综上，当n＝12时，E(Y)＝1 110万元最大，
∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．
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