2015-2016学年高中数学 1.3简单的逻辑连接词学案 新人教A版选修1-1

修1-1

►基础梳理 1．且(and)．

(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．

(2)当p，q两个命题都为真命题时，p∧q就为真命题；当p，q两个命题中只要有一个命题为假命题时，p∧q就为假命题．

2．或(or)．

(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．

(2)当p，q两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p∨q就为真命题；当p，q两个命题都为假命题时，p∨q就为假命题．

3．非(not)． (1)定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p.读作“非p”或“p的否定”．

(2)若p为真命题时，则綈p必为假命题；若p为假命题，则綈p为真命题． 4．复合命题真值表．

复合命题的真假可通过真值表加以判断：

非p p或q p且q 假 真 真 假 真 假 真 真 假 真 假 假 注意：判断复合命题真假的基本程序是：(1)确定复合命题的构成形式(先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．

5．复合命题的否定． (1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．

(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”． (3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”． 6．常用词语及其否定． 原词语 等于 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个

1

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 否定词语 至少有两个 原词语 任意的 所有的 能 否定词语 某个 某些 不能 ,►自测自评 1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2C．一个是真命题，另一个是假命题 D．只有p是真命题

3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C) A．非p B．p且q C．p或q

D．非p且非q

4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．

一个也没有 任意两个 某两个 至少有n＋1个

1．以下判断正确的是(B)

A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题

B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题 C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题 D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题

2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B) A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真

3．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为x|x>－.命题q：不等式(x－a)(x－b)<0的



ba

解集为{x|a则“p∧q”，“p∨q”，“綈p”形式的复合命题中的真命题是________． 答案：綈p

4．分别写出由下列命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命题，并判断真假． (1)p：3是无理数，q：3>1；

(2)p：平行四边形对角线互相平分，q：平行四边形的对角线互相垂直． 解析：(1)p∧q：3是无理数且3>1；真命题． p∨q：3是无理数或3>1；真命题． 綈p：3不是无理数；假命题．

(2)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p∨q：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题． 綈p：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．

22

5．(1)已知命题p：2x－3x＋1≤0和命题q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

2

(2)已知命题s：方程x＋(m－3)x＋m＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t：函数f(x)＝ln(mx2－2x＋1)的定义域为全体实数．若s∨t为真命题，求实数m的取值范围．

12

解析：(1)对于命题p：2x－3x＋1≤0，解得≤x≤1.

2

2

对于命题q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，解得a≤x≤a＋1，

∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p且綈pD/⇒綈q，得p⇒q且q⇒/ p.

11a≤a≤1

所以2解得2即0≤9 ≤ 2

a＋1≥1a≥0

1

所以实数的取值范围是0≤a ≤.

2

2

(2)对于命题s：方程x＋(m－3)x＋m＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内，

2

设g(x)＝x＋(m－3)x＋m，则 g（0）>0，m>0，

2

g（1）＜0，1＋m－3＋m<0，g（2）＜0， 即4＋2m－6＋m<0， g（3）>0，9＋3m－9＋m>0.

2解得03

2

m>0，

对于命题t：函数f(x)＝ln(mx－2x＋1)的定义域为全体实数，则有解

Δ＝4－4m<0，

得m>1.

又s∨t为真命题，即s为真命题或t为真命题．

2

故所求实数m的取值范围为01.

3

1．已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”和“綈p”形式的命题中，真命题有(B)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2222

2．命题p：a＋b<0(a，b∈R)；命题q：a＋b≥0(a，b∈R)，下列结论中正确的是(A) A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真 C．“綈p”为假 D．“綈q”为真 3．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么(D) A．命题p一定是真命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q一定是假命题

D．命题q可能是真命题也可能是假命题

解析：因为“非p”是真命题，所以命题p为假，所以无论q是真或是假“p且q”都是假命题．所以应选D.

4．如果命题“綈p∨綈q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A) ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题； ③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．

3

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，m⊂α，n⊂β，有两个命题：p：若α∥β，则m∥n；q：若n⊥α，则α⊥β，那么(D)

A．“p或q”是假命题 B．“p且q”是真命题 C．“非p或q”是假命题 D．“非p且q”是真命题

解析：由已知得，p是假命题，q是真命题，则非p是真命题，故“p或q”是真命题，A错；“p且q”是假命题，B错；“非p或q”是真命题，C错；“非p且q”为真命题，D正确．

ππ6．(2013·江门一模)设命题p：函数y＝sin2x＋的图象向左平移个单位得到的36

x曲线关于y轴对称；命题q：函数y＝|3－1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D)

A．p为假 B．綈q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真

ππ解析：函数y＝sin2x＋的图象向左平移个单位得到的图象的函数解析式为y＝36

2πππsin2x＋＋＝sin2x＋，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故p633

x是假命题；函数y＝|3－1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q也是假命题．綈q为真命题，p∧q为假命题，p∨q也是假命题，故D是不正确的．

7．命题p：菱形的对角线互相垂直，则p的否命题是

________________________________________________________________________， 綈p是________________________________________________________________________．

答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直 菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p：(x＋2)(x－6)≤0，命题q：－3≤x≤7，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数x的取值范围为________．

解析：由题条件可知p与q一真一假，p为真命题时，x满足－2≤x≤6，∴满足条件的x的范围是[－3，－2)∪(6，7]．

答案：[－3，－2)∪(6，7]

2

9．设有两个命题．命题p：不等式x－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)

x＝(a＋1)在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

22

解析：对于p：因为不等式x－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]－4<0. 解这个不等式得：－3x对于q：f(x)＝(a＋1)在定义域内是增函数， 则有a＋1>1，所以a>0.

又p∧q为假命题，p∨q为真命题． 所以p、q必是一真一假．

当p真q假时有－312xx10．设p：函数f(x)＝lgax－x＋a的定义域为R；q：关于x的不等式3－94

切正实数均成立．如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围

12

解析：若p为真，即ax－x＋a>0恒成立，

4

a>0，a>0，则有∴a>1. 2

Δ<0，1－a<0，

121xxxxxx令y＝3－9＝－3－＋，由x>0得3>1，∴y＝3－9的值域是(－∞，0)．

24

∴若q为真，则a≥0.

4

由“p∨q”为真，且“p∧q”为假，知p，q一真一假． 当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1. 综上，a的取值范围是[0，1]． ►体验高考

22

1(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x>y.在命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(C)

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)

A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.

π

3．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于

2

π

直线x＝对称．则下列判断正确的是(C)

2

A．p为真 B．綈q为假 C．p∨q为假 D．p∧q为真

5