2004年湖南高中数学竞赛试题(含详细答案)

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)g(x)x29x12，则f(x)g(x) ( )

A．x9x12 2.有四个函数：

① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinxcosx ④ y其中在(0,A．①

3.方程x2x1xx22B．x9x12

2C．x9x12 D． x9x12

22sinx cosx2)上为单调增函数的是 ( )

B．②

1C．①和③ D．②和④

(x21)x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141„，x为实数)，则A中所

C．2

D．4

有元素的平方和等于 ( ) A．0 B．1

4.已知点P(x,y)满足(x4cos)2(y4sin)24(R)，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π B．32π C．20π D．16π ( )

5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A．9 B．12 C．15 D．18 6.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于 ( ) A．80

7.已知曲线C：yA．(21,2)

B．40

C．24

D．-48

x22x与直线l:xym0有两个交点，则m的取值范围是 ( )

B．(2,21)

C．[0,21)

D．(0,21)

8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 ( ) A．

SmaxSmin3 2B．

6 2C．

23 3D．

26 39.设x0.820.5,ysin1,zlog3A．xB．y27，则x、y、z的大小关系为 ( )

C．z2D． z10.如果一元二次方程x2(a3)xb90中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )

A．

1 18B．

1 9C．

1 6D．

13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）

x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆

169|PF1||PF2||OP|2 ___________.

12.已知△ABC中，ABa,ACb，试用a、b的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.

13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为

34，则35n=__________.

14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A{x|f(x)x}

B{x|f[f(x)]x}.

(1). 求证：AB

(2).若f(x)ax21(aR,xR)，且AB，求实数a的取值范围.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？

组 上衣(件) 裤子(条)

17.设数列{an}满足条件：a11,a22，且an2an1an(n1,2,3,) 求证：对于任何正整数n，都有 nan11A 8 10 B 9 12 C 7 11 D 6 7 1nan

18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.

(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM||BN|的最小值的集合.

7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、. 求证：

23arcsin3 32004年湖南省高中数学竞赛试题参

一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题： 11. 25 12.1(|a||b|)2(ab)2 13. 4 14. 1 2三、解答题：

15.证明(1).若A=φ，则AB 显然成立；

若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax1x的实根.

2 由 A≠φ，知 a=0 或 a01 即 a

414a03422 B中元素是方程 a(ax21)21x 即 ax2axxa10的实根 由AB，知上方程左边含有一个因式axx1，即方程可化为 (ax2x1)(a2x2axa1)0

因此，要A=B，即要方程 axaxa10 ① 要么没有实根，要么实根是方程 axx10 ② 的根. 若①没有实根，则2a4a(1a)0，由此解得 a

222222223 4

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 axaxa，代入①有 2ax+1=0.

111310,由此解得 a. ,再代入②得

2a4a2a413故 a的取值范围是 [,]

447616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且

101211767 ① 7101211由此解得 x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.

由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.

则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)

依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 y9令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax=125.

因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.

17.证明：令 a01,则有 ak1akak1，且 1naka 于是 nk1

k1ak1k1ak1nakak1(k1,2,) ak1ak1由算术-几何平均值不等式，可得

1naa1a2aaan+n01n1 a2a3an1a2a3an1注意到 a0a11，可知

11nan11nanan1 ，即 nan111nan

18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.

|CA|2|CB|262(|CA||CB|)22|CA||CB|362a218 因为 cosC1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又 |CA||CB|(2a2181872)a2，所以 cosC12，由题意得 12,a25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).

x2y21(y0) 所以C点的轨迹方程为

2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为

0

1k22329k2)xkx(1)0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 (2516816150k2225k2400,x1x2显然有 △≥0， 所以 x1x2

1625k21625k2而由椭圆第二定义可得

339|BM||BN|(5x1)(5x2)253(x1x2)x1x25525144

450k281k2144531k214453153125252522216251625k1625k1625kk225k214416144531的最小值，即考虑125531取最小值，显然. 只要考虑

1616k2k22525k2当k=0时，|BM||BN|取最小值16.

当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得 |BM||BN|(0

342)16 5x2y21(y0)，故k0，这样的M、N不存在，即|BM||BN|的最小值的集合为空但

2516集.

19.证明：由 题意可得 sin2sin2sin21，且α、β、 (0, 所以 sin1sinsin2222)

1(cos2cos2)cos()cos() 2222因为 cos()cos()，所以 sincos()sin[当当2()]

2时，时，2.

22()，同样有 2

故 2

另一方面，不妨设 ，则 sin33 ,sin33令 sin1则 sin233,sin11()2sin2， 331sin2sin211

sin2cos()cos()cos(11)cos(11)

因为 11，所以 cos(11)cos() 所以 cos()cos(11) 所以 11

如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使111增大. 所以，当α=β==arcsin33时，α+β+取最大值 3arcsin. 333 3综上可知，

23arcsin