圆锥曲线题型归类总结

考圆锥曲线的常见题型

（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题

例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 例2、方程

表示的曲线是

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：? 1、椭圆：由2、双曲线：由

,,

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

x2y2例1、已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

m12mx2y21的曲线： 例2、k为何值时,方程

9k5k(1)是椭圆; (2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积Sb2tan2 ；双曲线焦点三角形面积Sb2cot2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题

22xy例1、椭圆22，求证：F1(ab0)上一点P与两个焦点FPF1，2的张角∠F12ab△F1PF2的面积为b2tan。 2，

例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且

．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

x2y2例1、已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三

ab角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 423 B. 31 C.

31 D. 31 2x2y2例2、双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,

ab则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3)

B.1,3

C.(3,+)

D.3,

x2y2例3、椭圆G：221(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)，椭圆上存在

ab点M使FMF2M0. 求椭圆离心率e的取值范围； 1x2y2例4、已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线

ab与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）(1,2] （B）(1,2) （C）[2,) （D）(2,)

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

x2y2点在椭圆内221

abx2y2点在椭圆上221

abx2y2点在椭圆外221

ab2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

>0相交

=0相切 （需要注意二次项系数为0的情况） <0相离 3、弦长公式：

4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。 题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；? 2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立

之间的关系

；

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）

，端点A、B到x轴距离之积为2m，

以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为?????????????????

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P向圆

作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点

P的轨迹方程为??????? ??????????? 例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线例5、一动圆与两圆⊙M：迹为????? ?? (4)代入转移法：动点某已知曲线上，则可先用方程:

例6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________ (5)参数法：当动点虑将

坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考

上任一点，定点为

,点M分

所成的比为2，

依赖于另一动点的代数式表示

的变化而变化，并且，再将

又在

和⊙N：

的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

都外切，则动圆圆心的轨

代入已知曲线得要求的轨迹

均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方

例7、过抛物线

程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 五、根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” x1x2y1y2>0；

③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（K1K20或K1K2）； ④“共线问题”

（如：AQQB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 典型例题：

例1、已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两

点，设DAl1，DBl2，求

l1l2

的最大值． l2l1

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设求λ的取值范围.

x2y2例3、设F1、F2分别是椭圆C：221(ab0)的左右焦点。

ab3（1）设椭圆C上点(3,)到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

2DM=λ，DN（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线

PM ，PN 的斜率都存在，并记为kPM，kPN?，试探究kPMKPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

F2在y轴上，例5、已知椭圆两焦点F1、短轴长为22，

离心率为

2，P2是椭圆在第一象限弧上一点，且PF1PF21，过P作称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。

关于直线F1P对

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值； 典型例题：

例1、

由①、②解得，xa2． 不妨设Aa2,0，Ba2,0， ∴l1a224，l2a224．

l1l2l12l222a216∴ 4l2l1l1l2a 2a16a2214， ③ 4aal1l2161621≤2122．

l2l1282a2a282 当a0时，由③得，

当且仅当a22时，等号成立． 当a0时，由③得，

l1l22． l2l1故当a22时，

l1l2的最大值为22． l2l1例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2221225＞|AB|=4. ∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.

x2∴曲线C的方程为+y2=1.

5(2)设直线l的方程为y=kx+2,

x2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

5Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知

35DMx1=λ DNx220kxx12215k由韦达定理得

15xx1215k2将x1=λx2代入得

(1)2400k280两式相除得 15(15k2)3(51)k2(1)216DM14,0,解得33DN3

①

②

x1DM,M在D、N中间，∴λ＜1 x2DN又∵当k不存在时，显然λ=综合得：1/3 ≤λ＜1.

DM1 (此时直线l与y轴重合) DN3例3、解：（1）由于点(3,3(3))在椭圆上，22a2(32)212b得2a=4, …2分

x2y21椭圆C的方程为 43x2y21把K的坐标代入椭圆43，焦点坐标分别为(1,0),(1,0) ……4分

（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x1,2y) ………………………5分

(2x1)2(2y)21中得

43……………7分

12y21线段KF1的中点B的轨迹方程为 (x)324 ………………………8分

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M(x0,y0)N(x0,y0),p(x,y),

x02y02x2y2M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得221，221 ……10分

ababkPMb2yy0yy0y2y02KPN==2 ……………………………13分 22axx0xx0xx0故：kPMKPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关， ………………14分

x2y21． …………（5分） 例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

ykxm，联立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0，

1.343(m24k2)又y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m，

34k222因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，0)，

kADkBD1，即

y1y21，

x12x223(m24k2)4(m23)16mky1y2x1x22(x1x2)40，40，

34k234k234k29m216mk4k20．

解得：m12k，m22k，且均满足34k2m20， 71、当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾； 2、当m222k20． 时，l的方程为ykx，直线过定点，77720． …………（14分） 所以，直线l过定点，定点坐标为，7y2x2例5、解（1）1F1(0,2),F2(0,2)，设P(x0,y0)(x00,y00)

42。

22则PF1(x0,2y0),PF2(x0,2y0), PF1PF2x0(2y0)1 222x0y04y021. x0点P(x0,y0)在曲线上，则

24224y02(2y0)1，得y02，则点P的坐标为(1,2) 从而2（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k0)，

y2k(x1)则PB的直线方程为：y2k(x1) 由x2y2得

1242k(k2)k222k21设B(xB,yB),则xB 22k2k2k222k242kxx 同理可得xA，则 AB2k22k2 所以：AB的斜率kAB例6、 解：（1）由2

得tanyAyB2为定值

xAxB3143OFFPtsin|OF||FP|sin,得|OF||FP|,由cos2sin43|OF||FP|，

43……………………3.t分

4t431tan3[0,] ∴夹角的取值范围是（

43,）……6分

（2）设P(x0,y0),则FP(x0c,y0),OF(c,0).

OFFP(x0c,y0)(c,0)(x0c)ct(31)c2SOFP143|OF||y0|23y02c43243)23c26………………10分 cc

x03c………8分

22|OP|x0y0(3c)2(∴当且仅当3c43,即c2时,|OP|取最小值26,此时,OP(23,23) c或OM3(23,23)(0,1)(2,1) …………12分

3椭圆长轴

或2a(22)2(10)2(22)2(10)2117a1172117 ,b22x2y21.或x2y21 …………14分 故所求椭圆方程为

161291711722