如何才能学好双曲线的渐近线
在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学 好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。 那么，如 何才能学好双曲线的渐近线呢？以下几点请同学们在学习时务必要
1 .必须明确双曲线的渐近线是怎样的两条直线
过双曲线实轴的两个端点作虚轴的平行线， 再过虚轴的两个端点 作实轴的平行线，这四条直线所围成的矩形的两条对角线所在直线即 为该双曲线的渐近线.画双曲线时，应先画出它的渐近线.
2. 要正确理解“渐进”两字的含义
当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线(渐近线)逐渐接近, 接近的程度是无限的，即当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双 曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于 0。
3. 能根据双曲线的标准方程求出它的渐近线的方程
把双曲线的标准方程中等号右边的1换成0,便得此双曲线的渐 近线方程，这是根据双曲线的标准方程求出它的渐近线的方程的最简 单且实用的方法.
一般地，对于中心不在坐标原点的双曲线， 其渐近线方程也可利 用这种方法求得，即先将双曲线的方程化成标准型 (平方差为常数), 再将标准型方程中的常数换成 0即得此双曲线的渐近线方程. 4.
线的渐近线方程求出该双曲线的方程
能根据双曲.
(1)求以直线Ax—By=0(AB^0)为渐近线的双曲线方程时，有以
F两种方法:
方法1:①当双曲线的焦点在 x轴上时，可设双曲线的方程为 ^^-2=i(a>0,b>0),则由渐近线方程为y = a b
y
，可得 V，再由其
a
a B
它条件列出一个关于a,b的方程，将所得两方程联立即可求解.
②当双曲线的焦点在y轴上时，可设双曲线的方程为
xy --b，可得氏，再由其 = i(a>0,b>0),则由渐近线方程为 2 a b2
2
它条件列出一个关于a,b的方程，将所得两方程联立即可求解.
方法2: •••当A盼0时，Ax_By二\"-_^=o,将两方程两边分别相
B A
2 2
乘，得笃-％=0，由此可以看出：渐近线就是退化了的双曲线，因此,
B2 A2
以直线Ax_By=0( ABM 0)为渐近线的双曲线方程可表示为
(Ax+By)(Ax-By)= ( =0)，即 A2x2-B2y2=・(=0),特别地，以两 条相交直线l 1 :Aix+Biy+Ci=0与l2：A2X+B2y+C2=0为渐近线的双曲线系 方程可表示为(Aix+Biy+Ci)(A 2X+B2y+C2)='(，工 0).
2 2
(2)与双曲线x2—y2=i ( a>0,b>0 )有共同渐近线的双曲线系方
a b
2 2
程为笃七=-( '半0)
a b
(*)
占-存=i,其中 事实上，①当>0时，方程(*) 可变形为
a ' b '
b2 ■ >0,此时方程表示中心在原点、焦点在 x轴上的双曲线，其渐近
b
线方程为y=±^^x=±x ,与双曲线令-§=〔的渐近线相同
a4 a a b
2 2
②当・<0时，方程(*)可变形为_2亍一工亍=1,其中-a^
—b '• ‘； - a -
-b 2 - >0,此时方程表示中心在原点、焦点在 y轴上的双曲线，其渐
0,
近线方程为y= _b— x= _bx，与双曲线㊁-£=1的渐近线相同。
aJ-丸 a a b
2 2
同理，与双曲线爲-务=1( a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系
a b
2 2
方程为与-笃='( '丰0) O
a b
下面举几例说明上述方法及结论的应用。
(X _ 1)2 _2)2 _ _]
9 的渐近线方程。
例1.求双曲线占
解：若将常数换为零，得八w：即
=1
■-
'，由此得渐近线方程为3x+2 y-7=0和
3x-2y+1=0.
例2.双曲线
：4
= 0的两条渐近线方程为 ___
_
解：双曲线方程可化为--' ■- 得+
-4(y-2)3 =0，即心+
=将常数4换为零，
= 0，由此得
渐近线方程为一；O
例3 •双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方 程为3x+2y=0，且经过点P(8,6 <3)，则其方程是 _____________________________ 。
解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0
O
因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x -2y)=人，即
9x2 —4y2 = ■（ '半0）。将P点坐标代入，得■ =144 ,故所求双曲线方
2 2
程为 9x2 -4y2 =144 ,即—-—=1
16 36
2 2
例4.求与双曲线「汁1有共同的渐近线，且经过点A（ -3 , 2 3）的双曲线方程
2 2
解：设所求双曲线方程为 ―、（■丰0）。将A点坐标代入，
9
16
2 2 2 2
得・=1,故所求双曲线方程为冬一乂=丄，即二-匕=1
4
9
16 4
9 4
4
例5.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F（-4,0），一条 渐近线的方程是3x-2y=0
，求此双曲线的方程。
2 2
解：设所求双曲线方程为9x2-4y2='（ ■工0），即—=1，则
9
4
+ =（-4） 2=16,
9
4
■ =576。故所求双曲线方程为— y =1。
13
60 13
144 13
例6.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0 和 2x-y-4=0, 且以抛物线（y-2 ） 2=-4（x-2） 的焦点为一个顶点，求此 双曲线的方程。
解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求 双曲线的方程为（2x+y-8 ） （ 2x-y-4
） = ■ （ ■工0）。将顶点坐标代
） =16。化
入，得'=16 。故所求双曲线方程为（2x+y-8 ） （ 2x-y-4 简整理，
(x-3)2 16
(y-2)2
