第四章 向量组的线性相关性
1. 设v1=(1, 1, 0)T ,v2=(0,1,1)T ,v3=(3,4,0)T , 求v1-v2 及3v1+2v2-v3.
2. 设 3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求 a, 其中 a1=(2, 5, 1, 3)T , a2=(10, 1, 5, 10)T , a3=(4, 1, -1,1)T . 3. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 2, 3)T , a2=(3, 0, 1, 2)T , a3=(2,3,0,1)T ; B: b1=(2, 1, 1, 2)T , b2=(0, -2, 1, 1)T ,b3=(4, 4, 1, 3)T ,
证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由 B 组线性表示. 4. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 1)T , a2=(1, 1, 0)T ;
B: b1=(-1,0,1)T ,b2=(1, 2, 1)T ,b3=(3, 2, -1)T , 证明A组与B组等价.
5. 已知R(a1, a2,a3)=2,R(a2,a3, a4)=3, 证明 (1) a1 能由a2, a3 线性表示; (2) a4 不能由a1, a2, a3 线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T ,(1,4,1)T ; (2) (2,3,0)T ,(-1, 4, 0)T ,(0,0,2)T . 7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？
8. 设a1, a2 线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2 线性表示的表示式 9. 设a1, a2 线性相关, b1, b2 也线性相关, 问a1+b1, a2+b2 是否一定线性相关？试 举例说明之.
10. 举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,×××, am 是线性相关的, 则a1 可由a2, ×××, am 线性表示. (2)若有不全为0的数l1,l2,×××,lm 使 l1a1+ ×××+lmam+l1b1+ ×××+lmbm=0
成立, 则a1, a2,×××, am 线性相关,b1, b2,×××, bm 亦线性相关. (3)若只有当l1,l2,×××,lm 全为0时, 等式 l1a1+ ×××+lmam+l1b1+ ×××+lmbm=0
1
才能成立, 则a1, a2,×××, am 线性无关,b1, b2,×××,bm 亦线性无关.
(4)若a1, a2, × × ×, am 线性相关, b1, b2, × × ×, bm 亦线性相关, 则有不全为0的数, l1,l2,×××,lm 使 l1a1+ ×××+lmam=0,l1b1+ ×××+lmbm=0
同时成立.
11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3,b4 线性相关. 12. 设b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量组a1, a2, × × × , ar 线性无关, 证明向量组b1, b2, ×××, br 线性无关.
13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
(1)a1=(1,2,-1,4)T , a2=(9,100,10,4)T ,a3=(-2, -4,2,-8)T ;
T T (2)a1T =(1, 2, 1, 3),a2 =(4,-1, -5,-6),a3 =(1,-3, -4, -7).
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
æ 25
ç ç 75 (1) ç
75 ç ç 25 è
31 94 94 32
17 53 54 20
43 ö ÷ 132 ÷
; 134 ÷
÷ 48 ÷ ø
(a, 3, 1)T ,(2,b,3)T ,(1,2,1)T ,(2,3,1)T
的秩为2, 求a, b.
16. 设a1, a2,×××, an 是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1,e2,×××,en 能由它 们线性表示, 证明a1, a2,×××, an 线性无关.
17. 设a1, a2, × ××, an 是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任 一n维向量都可由它们线性表示.
18. 设向量组a1, a2, × × ×, am 线性相关, 且a1¹0, 证明存在某个向量ak (2£k£m), 使ak 能由a1, a2,×××, ak-1 线性表示.
19. 设向量组B: b1, ×××,br 能由向量组A: a1,×××,as 线性表示为
(b1, × × ×, br)=(a1, × × ×, as)K, 其中K为s´r矩阵, 且A组线性无关. 证明B组线性 无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r. 20. 设
2
15. 设向量组
b 1 = a 2 + a 3 + × × × + a n ì ï b 2 = a 1 + a 3 + × × × + a n ï
, í
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ï ï b n = a 1 + a 2 + a 3 + × × × + a n -1 î
证明向量组a1,a2,×××,an 与向量组b1,b2, ×××,bn 等价.
21. 已知3阶矩阵A与 3维列向量x 满足A3 x=3Ax-A2 x, 且向量组x,Ax, A2 x 线 性无关.
(1)记P=(x, Ax,A2 x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; (2)求|A|.
22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
- 8 x 10 x x ì x12 + 3 + 2 4 = 0
ï (1) í 2 x x x 1 + 4 2 + 5 3 - x 4 = 0 ; ï 3 x x x x 1 + 8 2 + 6 3 - 2 4 = 0 î 2 x1 - 3 x x ì 2 - 2 3 + x 4 = 0 ï (2) í 3 x x x x 1 + 5 2 + 4 3 - 2 4 = 0 . ï 8 x x x x 1 + 7 2 + 6 3 - 3 4 = 0 î
(3)nx1 +(n-1)x2+ ×××+2xn-1+xn=0.
æ 2 - 2 1 3 ö
23. 设 A = ç ç 9 - 5 2 8 ÷ ÷ , 求一个4´2矩阵B, 使AB=0, 且
è ø R(B)=2.
24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为:
x1=(0,1,2,3)T , x2=(3,2,1,0)T .
25. 设四元齐次线性方程组
ì x + x = 0
I: í 1 2 ,II: î x 2 - x 4 = 0
- x ì x12 + x 3 = 0
. í
2 - x 3 + x 4 = 0 î x
求: (1)方程I与II的基础解系;(2) I与II的公共解. 26. 设n阶矩阵A满足A2 =A, E为n阶单位矩阵, 证明
R(A)+R(A-E)=n.
3
27. 设A为n阶矩阵(n³2), A*为A的伴随阵, 证明
n ì ï
R ( A *) = í 1
ï 0 î
+ x ì x12 = 5
ï (1) í 2 x x 1 ; 1 + x 2 + x 3 + 2 4 = ï 5 x x x x î 1 + 3 2 + 2 3 + 2 4 = 3 - 5 x x x ì x12 + 2 3 - 3 4 = 11 ï (2) í 5 x x x 1 . 1 + 3 2 + 6 3 - x 4 = - ï 2 x x x 6 1 + 4 2 + 2 3 + x 4 = - î
当 R ( A ) = n 当 R ( A ) = n - 1 . 当 R ( A ) £ n - 2
28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1,h2,h3是它的三个解 向量. 且 h1=(2, 3, 4, 5)T ,h2+h3=(1,2,3,4)T ,
求该方程组的通解.
30. 设有向量组A: a1=(a, 2, 10)T , a2=(-2, 1, 5)T , a3=(-1, 1, 4)T , 及b=(1, b, -1)T , 问a, b为何值时
(1)向量b 不能由向量组A线性表示;
(2)向量b 能由向量组A线性表示, 且表示式唯一;
(3)向量b 能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 31. 设a=(a1, a2,a3)T ,b=(b1, b2, b3)T ,c=(c1, c2,c3)T , 证明三直线
l1: a1x+b1y+c1=0,
2
l2: a2x+ + b2y c2=0,(ai2 +bi ¹0,i=1, 2,3)
l3: a3x+b3y+c3=0,
相交于一点的充分必要条件为: 向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关. 32. 设矩阵 A=(a1, a2, a3, a4), 其中 a2, a3, a4 线性无关, a1=2a2- a3. 向量 b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b 的通解.
4
33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解, x1, x2, × × ×, xn-r ,是对应的齐次线 性方程组的一个基础解系, 证明: (1)h*,x1,x2,×××,xn-r 线性无关;
(2)h*,h*+x1,h*+x2,×××,h*+xn-r 线性无关.
34. 设h1,h2,×××,hs 是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k1, k2, ×××,ks 为实数, 满 足k1+k2+ ×××+ks=1. 证明
x=k1h1+k2h2+ ×××+kshs
也是它的解.
35. 设非齐次线性方程组Ax=b 的系数矩阵的秩为r, h1, h2, × × ×, hn-r+1 是它的 n-r+1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为
x=k1h1+k2h2+ ×××+kn-r+1hn-r+1,(其中k1+k2+ ×××+kn-r+1=1).
36. 设
V1={x=(x1, x2,× × ×, xn)T | x1, × × ×,xnÎR 满足x1+x2+ × × × +xn=0}, V2={x=(x1, x2,× × ×, xn)T | x1, × × ×,xnÎR 满足x1+x2+ × × × +xn=1},
问V1, V2 是不是向量空间？为什么？
37. 试证: 由a1=(0, 1, 1)T , a2=(1,0,1)T , a3=(1,1,0)T 所生成的向量空间就是R3 . 38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T , a2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V1,由b1=(2, -1, 3, 3)T , b2=(0, 1, -1,-1)T 所生成的向量空间记作V2, 试证V1=V2.
39. 验证a1=(1, -1, 0)T , a2=(2, 1, 3)T , a3=(3, 1, 2)T 为R3 的一个基, 并把v1=(5, 0, 7)T , v2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 40. 已知R3 的两个基为
a1=(1, 1, 1)T , a2=(1, 0, -1)T ,a3=(1, 0, 1)T ,
b1=(1, 2, 1)T , b2=(2, 3, 4)T , b3=(3, 4, 3)T .
求由基a1, a2, a3 到基b1, b2, b3 的过渡矩阵P.
æ 1 0 0 ö æ 1 0 1 ö ç ÷ ç ÷
41. 设A1= ç 0 1 0 ÷ , A2= ç 0 1 1 ÷ 求F3×3中全体与 Ai乘积可交换的矩阵
ç 3 1 2 ÷ ç 0 2 2 ÷ è ø è ø
5
所构成的子空间 Wi的维数和一个基, i=1, 2.
41. 设F为数域, 复数α是F[x]中某个非零多项式的根,复数b也是F[x]中某个非 零多项式的根, 令 Va = { f ( x ) Î F [ x ] | f ( a ) = 0 } , V { g ( x ) Î F [ x ] | g ( b ) = 0 } . 证 b = 明: 对于多项式的加法及数与多项式的乘法, V V b 均作成 F 上向量空间, 且 a 与 V V b 同构.a 与 6
