小波阈值去噪法的选择和改良

[摘要] 图像是一种重要的信息源，通过图像处置能够帮忙人们了解信息的内涵。数字图像噪声去除涉及光学系统、微电子技术、运算机科学、数学分析等领域，是一门综合性很强的边缘科学，现在其理论体系已十分完善，且其实践应用 很普遍，在医学、军事、艺术、农业等都有普遍且成熟的应用。本文概述了小波阈值去噪的大体原理。对常常利用的几种阈值去噪方式进行了分析比较和仿真实现。最后结合理论分析和实验结果，讨论了一个完整去噪算法中影响去噪性能的各类因素。为实际的图像处置中，小波阈值去噪法的选择和改良提供了数据参考和依据。

[关键字]：小波变换 图像去噪 阈值

[引 言]

图像在生成和传输进程中常常因受到各类噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处置(如分割、紧缩和图像理解等)将产生不利影响。噪声种类很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。在图像处置中，图像去噪是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处置，必需对图像进行去噪预处置。

运算机图像处置主要采取两大类方式：一是在空间域中的处置，即在图像空间中对图像进行各类处置；另一类是把空间域中的图像通过正交变换到频域，在频域里进行各类处置然后反变换到空间域，形成处置后的图像。人们也按如实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱散布的规律， 进展了各式各样的去噪方式。其中最为直观的方式，是按照噪声能量一般集中于高频而图像频谱则散布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪，或对图像进行光滑处置等，这属于第一类图像处置方式。还有就是在频域进行处置，如：傅立叶变换、小波基变换。

最近几年来，小波理论取得了超级迅速的进展，而且由于其具有良好的时频特性，实际应用也超级普遍。其中图像的小波阈值去噪方式能够说是众多图像去噪方式的佼佼者。大体思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的去噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个适合的全局阈值，通过处置低于该阈值的小波系数同时维持其余小波系数值不变的方式来降噪，因此大多数方式对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处置效果并非睬想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分和有效去除噪声并保留有效信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像必然程度的紧缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟的优越性。小波去噪主要长处有：

低熵性，小波系数的稀疏散布，使得图象变换后的熵降低；

多分辨率，由于采用了多分辨率的方式，所以能够超级好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；

去相关性， 因为小波变换能够对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势， 所以小波域比时域更利于去噪；

选基灵活性，由于小波变换能够灵活选择变换基， 从而对不同应用处合、不同的研究对象，能够选用不同的小波函数，以取得最佳的效果。

[正 文]

一、图像与噪声：

噪声特性:

常常影响图像质量的噪声源可分为三类:

一、电子噪声:在阻性器件中由于电子随机热运动而造成的电子噪声是三种模型中最简单的，一般常常利用零均值高斯白噪声作为其模型，它可用其标准差来完全表征。

二、光电子噪声:由光的统计本质和图像传感器中光电转换进程引发，在弱光照的情形下常常利用具有泊松散布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较强时，泊松散布趋向于更易描述的高斯散布。

3、感光片颗粒噪声:由于曝光进程中感光颗粒只有部份被曝光，而其余部份则未曝光，底片的密度转变就由曝光后的颗粒密集程度转变所决定，而算曝光颗粒的散布呈现一种随机性。在大多数情形下，颗粒噪声可用高斯白噪声作为有效模型。

通过以上分析能够看出，绝大多数的常见图像噪声都可用均值为零，方差不同的高斯白噪声作为其模型，因此为了简便和一般化，咱们采用零均值的高斯白噪声作为噪声源。 图像质量的评价:

如何评价一个图像通过去噪处置后所还原图像的质量，对于咱们判断去噪方式的好坏有很重要的意义。现有的评价方式一般分为主观和客观两种。

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主观评价通常有两种:一种是作为观察者的主观评价。另一种是随着模糊数学的进展，能够用模糊综合评判方式来尽可能减少主观因素的影响，实现对图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不肯定性的影响，其定量计算公式中的参数往往要依赖专家经验肯定。

客观评价由于着眼点不同而有多种方式，这里介绍的是一种常常利用的所谓的传神度测量。对于彩色图像传神度的定量表示是一个十分复杂的问题。目前应用得较多的是对黑白图像传神度的定量表示。合理的测量方式应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。

2、小波去噪方式：

小波去噪的进展历程:

1992年，Donoho和oJhnostne提出了小波阈值收缩方式(Wavelet Shrinkage)，同时还给出了小波收缩阈值[11]

2lnN，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上限

。以上小波收缩算法的一个严峻的缺点是:在去噪之前必需明白噪声的大小(方差)。而在实际应用中噪声大小是无法预先明白的，于是Maarten Jasen等提出了GCV(generalized

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cross validation)方式，这种方式无需明白噪声大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另外，由于Donoho和Johnstone给出的阈值有很严峻的“过抹杀”小波系数的偏向，因这人们纷纷对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈值肯定方式。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值；可是当这些方式用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方式都基于独立同散布噪声的假设，而且这些方式大多是从Donoho和Johnstone给出的方式进展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用wavelet shrinkage肯定阈值时，对噪声服从独立正态散布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态散布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更严峻的噪声情形下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式。

目前，基于阈值收缩的小波去噪方式的研究仍然超级活跃，近来仍不断有新的方式出现，而且也能够看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地取得信号的先验信息，并用这些信息来肯定更适合的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除阈值收缩方式外，Kivnac，John和Xu等人还提出了不同的去噪方式，例如利用LiPschitz指数的方式和基于

最大后验概率MAP的比例收缩法等，这些都丰硕了小波去噪的内容。

小波去噪的方式有多种，如利用小波分解与重构的方式滤波降噪、利用小波变换模极大值的方式去噪、利用信号小波变换后空域相关性进行信噪分离、非线性小波阈值方式去噪、平移不变量小波去噪法，和多小波去噪等等。归结起来主要有三类:模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽(相关)去噪法。其中最常常利用的就是阈值法去噪，本文主要研究阈值去噪。 3阈值去噪法简述：

1992年，斯坦福大学的Donoho D L和Johnstone教授提出一种具有良好的统计优化特性的去噪方式，称作“Wavelet Shrinkage”（即阈值收缩法）。

该方式的主要思想是：基于图像和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性：图像本身的能量对应着幅值较大的小波系数,主要集中在高频（LL）；噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。按照该特征，设置一个阈值门限，以为大于该阈值的小波系数的主要成份为有效的信号，给予收缩后保留；小于该阈值的小波系数，主要成份为噪声，予以剔除，如此就可以够达到去噪的目的。

去噪时，通常以为低通系数含有大量的图像能量，一般不作处置，只对剩余三个高通部份进行处置。因此，一次阈值去噪并非能完全去除噪声，还需要对未作处置的低频部份（LL）再次进行小波分解和阈值去噪，直到实际图像与估量图像的误差达到最小值。

可是，随着分解和去噪次数的增加，小波系数中的噪声能量愈来愈少，而且趋于分散，去噪的效果将逐渐降低。一般来讲，进行3-4层小波分解和去噪就可以够达到满意的去噪效果。

a小波阈值去噪方式：

小波阈值去噪的大体思路是：

（1）先对含噪信号fk做小波变换，取得一组小波系数Wj,k； （2）通过对Wj,k进行阈值处置，取得估量系数W（3）利用W^j,k^j,k，使得W^j,k与Wj,k二者的差值尽可能小；

进行小波重构，取得估量信号fk即为去噪后的信号。

Donoho提出了一种超级简练的方式对小波系数Wj,k进行估量。对fk持续做几回小波分解后，有空间散布不均匀信号sk各尺度上小波系数Wj,k在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号sk的奇变位置和重要信息，而其他大部份位置的Wj,k较小；对于白噪声nk，它对应的小波系数Wj,k在每一个尺度上的分不都是均匀的，并随尺度的增加，

Wj,k系数的幅值减小。因此，通常的去噪办法是寻觅一个适合的数作为阈值（门限），把

低于λ的小波函数Wj,k（主要由信号nk引发），设为零，而对于高于的小波函数Wj,k（主要由信号sk引发），则予以保留或进行收缩，从而取得估量小波系数W大体由信号sk引发的，然后对W^j,k^j,k，它可理解为

进行重构，就可以够重构原始信号。

估量小波系数的方式如下，取：

2logN

概念：

W^j,kWj,k,Wj,k0,Wj,k

称之为硬阈值估量方式。一般软阈值估量概念

为

W^j,ksignWj,kWj,k,Wj,k

0,Wj,k

从含噪图像能够看出噪声含量超级强，而从去噪的结果能够看出，通过小波去噪后的图像基本和 图1-1 小波的图像去噪结果原图像一致。

结果分析：现实中的图像多为含噪图像，当噪声较严峻时，会影响图像的分割、识别和理解。传统的去噪方式在去噪的同时使图像的细节变得模糊。小波变换由于具有“数学显微镜”的作用，在去噪的同时能维持图像细节，取得原图像的最佳恢复。本论文总结了图像去噪方式，并在前人研究功效的基础上，对小波阈值去噪进行了深切的研究，取得了必然的效果。与此同时，本论文在的研究工作仍然存在着许多缺点有待进一步的完善。

参 考 文 献 ：

[1]陈武凡，《小波分析及其在图像处置中的应用》，科学出版社，2002年第1版.

[2]Pok G, Liu J C, Nair A S. Selective Removal of Impulse Noise Based on Homogeneity Level Information [J].IEEE Trans, On Image Processing,2003,12(1):85-92. [3]路系群 陈 纯. 《图像处置原理、技术与算法》[M].浙江大学出版社,2001,8.

[4]谢杰成,张大力,许文立.小波图像去噪综述.中国图像图形学报, 2002 3(7),209-217.