相似三角形题型总结

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有 _________ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明． （2）若MC=，求BF的长．

2．（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．（2010•崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM； （2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由； （4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且

，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．

5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C， 求证：AB2=AD•AC．

7．（2014•铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：

=

．

8．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）连接AE，交BD于点G，求证：

=

．

9．（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．

（1）求证：CD2=BC•AD；

（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：

．

10．（2013•崇明县一模）如图，△ABC是等边三角形，且AD•ED=BD•CD． （1）求证：△ABD∽△CED；

（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

11．（2013•徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （2）如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．

12．（2013•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC． 求证：（1）AF=CE； （2）BF2=EF•AF．

13．（2013•奉贤区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F． （1）求证：△FDC∽△FBD； （2）求证：

．

14．（2013•道外区一模）如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F．

（1）求证：PE=PA；

（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=4

，求线段NG的

长．

15．（2013•徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D． （1）求证：AE•BC=BD•AC； （2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．

16．（2012•邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证： （1）AE=BD；

（2）△BOE∽△COD．

17．（2012•淮北模拟）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．

18．（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA； （2）BO•BE=BC•AE．

19．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC． （1）求证：AP=AO； （2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

20．（2012•嘉定区一模）如图，己知△ABC中，BC=60，BC边上的高AH=40；矩形DEFG的顶点D、E在边 BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，设EF的长为x，矩形DEFG的面积为y．求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．

21．有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？

初中数学相似三角形组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．

（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有 ①②③ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明． （2）若MC=

，求BF的长．

考点：

相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质． （1）①②③，选择②进行证明．连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得

分析：

BM=EF=MD．运用“SSS”证明

△BCM≌△DCM，得

∠BCM=∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD；

（2）过点M作MQ⊥BC于点，构建直角三角形BEF的中位线MQ；根据正方形对角线的

性质推知

∠MCQ=45°；然后利用锐角三角函数求得MQ=1；最后根据三角形中位线定理求得BF的长． 解：（1）①②③． ②MC垂直平分BD，

证明如下：连接BM、DM． ∵ABCD是正方形，

∴∠A=∠DCE=90°，AD=CD； 又∵AF=EC（已知），

∴△AFD≌△CED．（SAS） ∴∠FDA=∠EDC，DF=DE． ∴∠FDE=∠ADC=90°．

∵M是EF的中点，

∴MD=EF； ∵BM=EF， ∴MD=MB=PC．

又 DC=BC，MC是公共边， ∴△DCM≌△BCM，（SSS） ∴∠BCM=∠DCM，

∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上， ∴MC垂直平分BD；

（2）过点M作MQ⊥BC于点Q．

解答：

由（1）知，CM即BD的中垂线，

∴∠MCQ=45°； 又∵点M是EF的中点，

∴MQ是直角三角形EFB的中位线， ∴MQ=BF； 又∵MC= ∴MQ=1，

∴BF=2MQ=2．

点评：

本题考查了正方形的相关性质，三角形的全等，线段中垂线的判定．特殊的四边形一直是中考的热点，所以想设计一题此类的综合压轴题，能适当结合证明与计算，并且能让学生有回旋余地，故设计了第（1）小题的开放题，当然这三个结论在证明的难易程度中我认为是不相上下的，任何一个结论的得到都需要一定的思维量，因为考查的知识点都很丰富．当然若是选择第二个结论的证明，将对第（2）小题有铺

垫作用，难易程度﹣﹣难．

2．（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

考点：

相似三角形的判定；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质． 压轴题．

（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为

2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．

（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式． （3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可

专题： 分析：

解答：

求出解． 解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣

S△FCG﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） =×

﹣

=×（10+2）×8﹣×10×4﹣

=24（cm2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动， 此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG =×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t） =8t2﹣

32t+48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2 在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90° 1若

=，即

=

解得t=． 又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 2若

==，解得t=． 又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似． 本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．

即，

点评：

3．（2010•崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM； （2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？

（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由； （4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

考点： 相似三角形的

判定；全等三角形的判定．

专题： 证明题；探究

型．

分析： （1）所求的两

个三角形中，已知对顶角

∠C′MC=∠A′MD，一组直角∠C=∠D=90°，即可证得所求的结论． （2）在

Rt△ADC中，易求得斜边AC的长，那么AC、AD的差即为A点下滑的距离． （3）若两个三角形全等，那么C′M=A′M，此时∠MC′A′=∠M

A′C′，即

∠MA′C′=45°，显然∠MA′C′＜45°，因此两个三角形不可能全等． （4）当

∠MC′C=∠DA′M=15°时，∠A′C′D=60°，∠C′A′C=30°，此时A′C′∥AB；

在Rt△A′C′C中，根据

∠A′C′C的度数及A′C（即′AC）的长，可求得A′C的值，进而可由AA′=AC﹣A′C得解． 解：（1）如图②，∵∠C=∠D=90°，

∠CMC′=∠DMA′，

∴△CC′M∽△A′DM．（2分）

（2）如图①，在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=DC=cm，∴AC=8cm；（4分） 如图③，

AA′=AC﹣A′D=（8﹣）cm．（5分）

（3）不可能全等．（6分） 理由如下：根据对应关系可知，如果全等必为△CC′M≌△A′DM，

即C′M=A′M，则

∠C′A′M=∠A′C′M=45°； ∵∠MA′C′＜45°，∴不可能全等．（8分）

（4）A′C′与AB能平行．（9分） ∵AC′∥AB， ∴∠A′C′M=∠B=60°，则A′C=cm； ∴AA′=AC﹣

解答：

A′C=（8﹣）cm．（12分） 此题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的判定等知识，难度适中．

点评：

4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且

，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的判定． 证明题． 先根据等边三角形的性质得到

∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由

得到CD=2AD，则=

，然后根

解答：

据两边及其夹

角法可得到结论．

证明：∵△ABC为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB， ∵AE=BE， ∴CB=2AE， ∵

，

∴CD=2AD，

∴

=

=，

而∠A=∠C， ∴△AED∽△C

点评：

BD．

本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．

5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题： 分析：

证明题；动点型．

（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得

的比值，即

可以得到答案． （2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度； （1）①证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF， 在△ABE和△CAF中，

解答：

，

∴△ABE≌△CAF（SAS）， ∴AF=BE，∠ABE=∠CAF． 又

∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°． ∴∠APB=180°﹣∠APE=120°． ②∵∠C=∠APE=60°，

∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△A

CF， ∴

，即，所以

AP•AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．

①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6， ∴OA=， 点P的路径是

．

②当AE=BF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径的长度为：

． 所以，点P经过的路径长为

或

3

．

点评：

本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．

6．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C， 求证：AB2=AD•AC．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的判定与性质． 证明题． 利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得

△ABD∽△ACB，进一步得出

，整理得

出答案即可．

证明：

∵∠ABD=∠C，∠A是公共角， ∴△ABD∽△ACB， ∴

，

解答：

点评：

∴AB2=AD•AC．

此题考查相似三角形的判定与性质：①如果

两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．⑤相似三角形的对应边成比例，对应角相等．

7．（2014•铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：

=

．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的判定与性质． 证明题． 由AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，可得

∠D=∠E=90°，又由

∠ACD=∠BCE，即可证得△ACD∽△BCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得

解答：

结论．

证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高， ∴∠D=∠E=90°，

∵∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE， ∴

点评：

=

．

此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

8．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）连接AE，交BD于点G，求证：

=

．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．

专题： 分析：

证明题． （1）证

△△BAD≌△CDA，推出

∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可； （2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，

解答：

即可得出答案． 证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD， ∴∠BAD=∠CDA，

在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SAS）， ∴∠ABD=∠ACD，

∵∠CDE=∠ABD，

∴∠ACD=∠CDE，

∴AC∥DE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形；

（2）

∵AD∥BC， ∴=∴

=

，， =， ∵平行四边形ACED，AD=CE， ∴

=， ∴∴∴

===

， ， ．

点评：

本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．

9．（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．

（1）求证：CD2=BC•AD；

（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：

．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的判定与性质． 证明题．

（1）首先根据已知得出

∠ACD=∠CBD

，以及

∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；

（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出=

，再利用

△ABG∽△DBA，得出

=

，则

解答：

AB2=BG•BD，进而得出答案． 证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠BCD=90°，

又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBD，

∴△ACD∽△DBC， ∴即

CD2=BC×AD；

（2）方法一： ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，

∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，

∴△ABG∽△DBA， ∴∴

==，

，

=

，

又

∵△ABG∽△DBA， ∴

=

，

∴AB2=BG•BD， ∴

=

=

=

，

方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，

∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，

∴△ABG∽△DBA， ∴

=

（

）2=

，

而=，

∴

点评：

=．

此题主要考查

了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABG∽△DBA是解题关键．

10．（2013•崇明县一模）如图，△ABC是等边三角形，且AD•ED=BD•CD． （1）求证：△ABD∽△CED；

（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

考点：

相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 探究型．

专题：

分析：

（1）由

AD•ED=BD•CD可知

=

，

解答：

再根据

∠ADB=∠CDE即可得出结论； （2）过点D作DF⊥AB于点F，由（1）知△ABD∽△CED，再根据AB=6，AD=2CD可得出DE：BD=1：2，再根据△ABC是等边三角形可求出AD的长∠A的度数，根据直角三角形的性质求出DF及AF的长，进而可得出BF的长，在Rt△ADF中，根据勾股定理可求出BD的长，设DE=x，则BD=2x，可求出x的长，进而得出结论． （1）证明：∵AD•ED=BD•CD， ∴

=

，

∵∠ADB=∠CDE，

∴△ABD∽△CED；

（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，

∴

=

=，

∴AD=×6=4，CD=2，∠A=60°， ∴DF=AD•sinA=4×

=2

，

AF=AD•cosA=4×=2， ∴BF=AB﹣AF=6﹣2=4， 在Rt△ADF中， ∵BF=4，DF=2， ∴BD=

=

=2∵

， =

=，

∴设DE=x，则BD=2x，

∴2x=2，解得x=， ∴BE=BD+DE=2x+x=3x=3

．

点评：

本题考查的是

相似三角形的判定与性质，涉及到等边三角形的性质、直角三角形的性质等相关知识，难度适中．

11．（2013•徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形； （2）如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．

考点：

相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． （1）根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；

（2）通过相似三角形

△ADB∽△AF

分析：

D的对应角相等知

∠ADB=∠DFA，然后由▱ABCD、

▱DBEC的性质以及等量代换证得

△CMN∽△CMD，则该对相似三角形的对应边成比例，即

，又因为

DC=AB，所以

，即

CM•AB=DM•C

N． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB． ∵BE=AB， ∴DC=BE． 又∵DC∥BE，

解答：

∴四边形DBEC是平行四边形；

（2）

∵AD2=AB•AF， ∴

，

又∵∠A=∠A， ∴△ADB∽△AFD，

∴∠ADB=∠DFA．

∵DC∥AB， ∴∠CDF=∠DFA．

∵四边形

ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠ADB=∠DBC．

∵四边形DBEC是平行四边形， ∴CE∥DB， ∴∠MCN=∠DBC，

∴∠MCN=∠CDF． 又

∵∠CMN=∠DMC，

∴△CMN∽△CMD， ∴

，

∵DC=AB， ∴

，

点评：

∴CM•AB=DM•CN．

本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在

判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．

12．（2013•静安区二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC． 求证：（1）AF=CE； （2）BF2=EF•AF．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

专题： 分析：

证明题．

（1）根据全等三角形的判定方法得出

△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答案； （2）根据∠EAF=∠ECA，

∠FEA=∠AEC，得出

△EFA∽△EAC，进而求出

，即可得

出BF2=EF•AF．

（1）证明：∵DA=DB， ∴∠FBA=∠EA

解答：

C，

∵∠AFD=∠BEC， ∴180°﹣

∠AFD=180°﹣∠BEC， 即

∠BFA=∠AEC．

∵在△BFA和△AEC中

，

∴△BFA≌△AEC（AAS）． ∴AF=CE．

（2）解：

∵△BFA≌△AEC，

∴BF=AE． ∵∠EAF=∠ECA，

∠FEA=∠AEC，

∴△EFA∽△EAC． ∴

．

点评：

∴EA2=EF•CE． ∵EA=BF，CE=AF，

∴BF2=EF•AF． 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定，根据已知得出

∠BFA=∠AEC是解题关键．

13．（2013•奉贤区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F． （1）求证：△FDC∽△FBD； （2）求证：

．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的判定与性质． 证明题．

（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD

，求出

∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可； （2）由（1）可知

FBD∽△FDC，所以

，由

已知条件可证

明

△BDC∽△BCA所以即

解答：

．

（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵E是AC的中点，

∴DE=EC， ∴∠EDC=∠ECD，

∵∠ACB=90°，∠BDC=90° ∴∠ECD+∠DCB=90°，

∠DCB+∠B=90°，

∴∠ECD=∠B， ∴∠FDC=∠B，

∵∠F=∠F， ∴△FBD∽△FDC；

（2）

∵△FBD∽△FDC， ∴

，

∵△BDC∽△BCA， ∴∴

点评：

， ．

本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是由相似得到比例式．

14．（2013•道外区一模）如图，已知正方形ABCD，点P为BC边上一点，作∠APE=45°，交CD的延长线于点E，连接AC交PE于F． （1）求证：PE=PA；

（2）点G在AF边上，且∠PGE=135°，连接DG交PE于N，若PB=3，CF=4，求线段NG的

长．

考点：

相似三角形的判定与性质；正方形的性质． （1）连结AE，由条件可以得出

△AFP∽△EFC

分析：

，就有，

就有

，再

通过证明

△AFE∽△PFC而得出结论； （2）由（1）的结论可以求出△ABP≌△ADE而得出AP=AE．再由条件得出

∴△APC∽△EFC，就有

．设

BC=CD=x，则CP=x﹣3，AC=x，CE=x+3，可以求出x的值而得出CP=6，

CE=12．再由条件

dechu△PCG∽△GCE，就可以得出CG的值，作GK⊥EC于K，根据勾股定理就可以求出GD的值，通过证明四边形GPCK是矩形和△PNG∽△END的性质就可以求出结论． 解：（1）连结AE， ∵四边形

ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠DAB=45°

∵∠APE=45°， ∴∠APE=∠ACD．

∵∠AFP=∠EFC，

∴△AFP∽△EFC，

解答：

∴∴

， ．

∵∠AFE=∠PFC，

∴△AFE∽△PFC，

∴∠AEF=∠FCP=45°

∴△APE是等腰直角三角形， ∴PE=AP．

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠ACB=45°，

∠B=∠ADE=∠BAD=∠BCD=90°，

AB=BC=CD=AD．

∵△APE是等腰直角三角形， ∴AP=AE． 在Rt△ABP和Rt△ADE中，

，

∴Rt△ABP≌Rt△ADE（HL）， ∴BP=DE． ∵∠APE=45°， ∴∠APE=∠ACD．

∵∠AFP=∠EFC，

∴∠PAC=∠CEF

∴△APC∽△EFC， ∴

．

设BC=CD=x，则CP=x﹣3，AC=x，CE=x+3，

∴

，

解得：x1=9，x2=

﹣1（舍去） ∴CB=CD=9， ∴CP=6，CE=12．

∵∠PCG=45°， ∴∠PGC+∠GPC=135° ∵∠PGE=135°，即

∠PGC+∠CGE=135°，

∴∠GPC=∠CGE，

∵∠PCG=∠CGE，

∴△PCG∽△GCE，

∴CG2=CP•CE， ∴CG=6． 作GK⊥EC于K，

∴∠GKC=∠GKE=90°．

∵∠GCK=45°， ∴∠CGK=45°， ∴CK=KG． 在Rt△CGK中，由勾股定理，得 GK=CG=6， ∴DK=3． 在Rt△GKD，由勾股定理，得 GD=3． ∵GK=PC=6，且GK∥BC

∴四边形GPCK是平行四边形， ∵∠PCK=90°， ∴四边形GPCK是矩形，

∴PG=CK=6，PG∥ED， ∴∠GPE=∠DEP．

∵∠PNG=∠END，

∴△PNG∽△END， ∴

．

∴GN=2ND， ∵GN+ND=GD=3

∴3ND=3， ∴ND= ∴GN=2．

点评：

本题考查了正方形的性质的运用，矩形的判定即性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定即性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键．

15．（2013•徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D． （1）求证：AE•BC=BD•AC； （2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．

考点： 分析：

相似三角形的判定与性质． （1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，

△ADE∽△AB

C，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC；

（2）根据三角形面积公式与S△ADE=3，S△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长． （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE．…（1分） ∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠CBE…（1分） ∴∠ABE=∠DEB．

∴BD=DE，…（1分）

∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴分） ∴

， …（1

解答：

∴AE•BC=BD•AC；…（1分）

（2）解：设△ABE中边AB上的高为h． ∴

，…（2分） ∵DE∥BC， ∴（1分） ∴

， ． …

点评：

∴BC=10． …（2分）

此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

16．（2012•邢台二模）如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．求证： （1）AE=BD；

（2）△BOE∽△COD．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 证明题．

专题：

分析：

（1）利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可证明CE=CD，再根据全等三角形的判定方法可证明

△ACE≌△CBD，进而证明AE=BD； （2）利用有两对角相等的两三角形相似即可证明：

△BOE∽△CO

解答：

D．

证明（1）

∵△ABC∽△DEC， ∴

，

∠ACB=∠DCE，

∵CA=CB， ∴CE=CD， ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠BCD=∠DCE+∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△CBD中， ∵

，

∴△ACE≌△CBD．

∴AE=BD； （2）

∵∠DCE=∠DBE，

∠DOC=∠BOE，

∴△BOE∽△COD．

点评：

本题考查了相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定，证明时注意图形中隐藏条件的挖掘如：公共角和对顶角．

17．（2012•淮北模拟）已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．

考点：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 证明题．

先连接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE，再利用等边对等角可知

∠EBC=∠ECB，易证

∠ABE=∠ACE，结合

CG∥AB，利用平行线的性质，可证

∠CGF=∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，于是

CE2=EF•EG，从而有

专题： 分析：

解答：

BE2=EF•EG． 证明：连接CE，如右图所示， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， 又

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB， 即

∠ABE=∠ACE，

又∵CG∥AB， ∴∠ABE=∠CGF，

∴∠CGF=∠FCE， 又

∠FEC=∠CEG，

∴△CEF∽△GEC，

∴CE：EF=EG：CE，

即CE2=EF•EG， 又CE=BE， ∴BE2=EF•EG．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的

判定和性质．关键是能根据所证连接CE．

18．（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA； （2）BO•BE=BC•AE．

考点：

相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．

专题： 分析：

计算题．

（1）利用梯形的性质得到∠EAB=∠CBA，从而证得△EBA∽△ACB，然后利用相似三角形的性质得到

∠AEB=∠BAC，从而证明△BAE∽△BOA；

（2）根据上题证得的

△BAE∽△BOA得到

，

然后再利用∠BAC=∠OAB、

∠EBA=∠BCA证得

△OAB∽△BAC，从而得到

，再根据得到

BE•BO=AE•B

解答：

C即可．

证明：（1）在梯

形ABCD中， ∵AB∥CD，AD=BC， ∴∠EAB=∠CBA

∵∠EBA=∠BCA，

∴△EBA∽△ACB

∴∠AEB=∠BAC

∵∠ABE=∠OBA

∴△BAE∽△BOA （2）

∵△BAE∽△BOA， ∴

∵∠BAC=∠OAB，

∠EBA=∠BCA ∴△OAB∽△BAC ∴∴

∴BE•BO=AE•

点评：

BC

本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，解题的关键是正确的利用相似三角形的性质得到对应角相等，从而得到证明三角形全等的条件．

19．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC． （1）求证：AP=AO； （2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 几何综合题． （1）根据等角的余角相等证明即可；

（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得

CO=DO，利用“SAS”证明△APE和

△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得

∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；

（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，

BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可． （1）证明：

专题： 分析：

解答：

∵∠C=90°，∠BAP=90° ∴∠CBO+∠BOC=90°，

∠ABP+∠APB=90°， 又

∵∠CBO=∠ABP，

∴∠BOC=∠APB，

∵∠BOC=∠AOP，

∴∠AOP=∠APB，

∴AP=AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D， ∵∠CBO=∠ABP，

∴CO=DO， ∵AE=OC， ∴AE=OD， ∵∠AOD+∠OAD=90°，

∠PAE+∠OAD=90°，

∴∠AOD=∠PAE，

在△AOD和△PAE中，

，

∴△AOD≌△PAE（SAS）， ∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：设AE=OC=3k， ∵AE=AC，∴AC=8k， ∴OE=AC﹣AE

﹣OC=2k， ∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k． 如图，过点O作OD⊥AB于点D，

∵∠CBO=∠ABP，

∴OD=OC=3k． 在Rt△AOD中，AD=

=

=4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k． ∵OD∥AP， ∴

，即

解得k=1， ∵AB=10，PE=AD，

∴PE=AD=4K，BD=AB﹣

AD=10﹣4k=6，OD=3

在Rt△BDO中，由勾股定理得： BO=

==3

．

点评：

本题考查了全等三角形的判

定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．

20．（2012•嘉定区一模）如图，己知△ABC中，BC=60，BC边上的高AH=40；矩形DEFG的顶点D、E在边 BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，设EF的长为x，矩形DEFG的面积为y．求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．

考点： 专题： 分析：

相似三角形的应用． 探究型． 先根据相似三角形的判定定理得出

△AGF∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AM的表达式，进而可求出GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式． 解：∵EF=x，AH=40，

∴AM=40﹣x， ∵矩形DEFG

解答：

的顶点D、E在边 BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴

==，即，

∴GF=60﹣x， ∴y=EF•GF=x（60﹣x），即y=﹣x2+60x（0＜x＜40）． 本题考查的是相似三三角形在实际生活中的应用及矩形的面积，熟知相似三角形对应边成比例的性质是解答此题的关键．

点评：

21．有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？

考点： 分析：

相似三角形的应用．

先根据题意得出

△ADG∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可

解答：

得出结论． 解：∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC．

当如方案一所示时，设DE=x，则DG=2x， ∵BC=12cm，高AH=8cm， ∴

==x=

，即，解得

（cm）． cm，

∴2x=∴S矩形

DEFG=

×=

cm2； 当如方案二所

示时，设DE=2x，则DG=x，

∵BC=12cm，高AH=8cm， ∴

==，即，解

得x=3（cm）． ∴2x=6cm ∴S矩形

DEFG=3×6=18cm2． ∵

＞18，

点评：

∴方案一的设计较好． 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．