临城县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

临城县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） 11A. B. 10532C. D. 1052． 不等式x（x﹣1）＜2的解集是（ ）

A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞1或x＜﹣2} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 3． 设函数

A．f（x）是奇函数，C．f（x）是偶函数

，则有（ ）

B．f（x）是奇函数，D．f（x）是偶函数，

y=bx

4． 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（ ）

A．14 B．12 C．10 D．8

5． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

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A．123 B．163 C．203 6． 若复数z=

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

7． 已知向量=（2，1），=10，|+|=

，则||=（ ）

A． B． C．5 D．25

8． 对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（ ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 9． 把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移

个单位得到的函数解析式为（ ）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+

）

C．y=cos2x D．y=﹣sin2x

10．下面是关于复数的四个命题：

p1：|z|=2， p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为﹣1+i， p4：z的虚部为1． 其中真命题为（ ） A．p2，p3 B．p1，p2

C．p2，p4

D．p3，p4

11．下列函数中，与函数fxexex3的奇偶性、单调性相同的是（ ）

A．ylnx1x2 B．yx2 C．ytanx 第 2 页，共 16 页

D．323 D．yex

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12．已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）

231313 B． C. D．0 42424二、填空题

A．

13．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，

*

在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，

经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．

14．不等式

的解集为 ．

15．已知函数f(x)x3ax23x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a ． 16．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ． 17．椭圆

18．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{an}（即项数是无穷项），我们定义的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=

Sn=

Sn（其中Sn是数列{an}

+

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

，则循环小数0. 的分数形式是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)2x12x3．

（I）若x0R，使得不等式f(x0)m成立，求实数m的最小值M； （Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a,b满足3abM，证明：

313. ba第 3 页，共 16 页

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20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，

过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

21．（1）求与椭圆（2）求与双曲线

有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程． 有相同的渐近线，且焦距为

的双曲线的标准方程．

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22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为r=2 ìïx=2+tcosa（[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C

的参数方程；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

23．设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,ca2bsinA． （1）求角B的大小；

（2）若a33，c5，求．

x2y22)是椭圆上24．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，P(1,ab2一点，且2|PF1|,|F1F2|,2|PF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；、

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得QAQB716第 5 页，共 16 页

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恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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临城县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，

3

4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P＝. 102． 【答案】B

【解析】解：∵x（x﹣1）＜2， ∴x﹣x﹣2＜0，

2

即（x﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x＜2，

即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 故选：B

3． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． 又f（﹣x）=

=

=f（x），所以f（x）为偶函数．

而f（）=故选C．

==﹣=﹣f（x），

【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

4． 【答案】A

【解析】解：由图象可知， 若f（g（x））=0，

则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1； 由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1； g（x）=0时，x的值有3个； g（x）=1时，x=2或x=﹣2； 故m=7；

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若g（f（x））=0，

则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0； 由图1知，

f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个； f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0； 故n=7； 故m+n=14； 故选：A．

5． 【答案】C 【解析】

考点：三视图． 6． 【答案】A 【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3． 故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

7． 【答案】C

【解析】解：∵|+|=，||=

2∴（+）=

2

==．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

+

2

+2=50，

得||=5 故选C．

【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．

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8． 【答案】C

【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在

22

∵（0，1）在圆x+y=2内

22

∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x+y=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心

故选C．

9． 【答案】D

【解析】解：把函数y=sin（2x﹣

）的图象向右平移

）﹣

个单位，

所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣故选D． 一侧加与减．

10．【答案】C

【解析】解：p1：|z|=p2：z2=

=

]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另

=，故命题为假； =2i，故命题为真；

，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；

∵

，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．

故真命题为p2，p4 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．【答案】A 【解析】

试题分析：fxfx所以函数为奇函数，且为增函数.B为偶函数，C定义域与fx不相同，D为非奇非偶函数，故选A.

考点：函数的单调性与奇偶性． 12．【答案】B 【解析】

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考

点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.

二、填空题

13．【答案】

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

．

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．

14．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

15．【答案】5 【解析】

试题分析：f(x)3x2ax3,f(3)0,a5． 考点：导数与极值．

16．【答案】 3π ．

【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为

'2'，即，求得0＜x≤1，

的正方体，如图

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∵球与三棱锥各条棱都相切，

∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心， 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得该球的直径为

，半径r=

2

∴该球的表面积为S=4πr=3π

故答案为：3π

【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．

17．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ） 则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣故答案为：4

18．【答案】

【解析】解：0. =故答案为：

．

+

+…+=

=

，

）=1时，d取得最大值为4． ．

，

=

，

【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．

三、解答题

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19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

∴

22

，解得a=4，b=3，

∴椭圆C的方程为=1．

），

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣代入椭圆∴

22

，化简，得（3t+4）y+6ty﹣9=0，

，，

设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则直线F1M：∴

=

|

，令x=4，得P（4，|=15×|

），同理，Q（4，

|=180×|

）， |，

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令μ=∵y=

∈[1，=

），则在[1，

=180×）上是增函数， ）min=

．

，

∴当μ=1时，即t=0时，（

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．

21．【答案】

【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆设椭圆方程

由（4，3）在椭圆上得则椭圆方程为（2）由双曲线设所求双曲线的方程为

；

有相同的渐近线， ﹣

=1（λ≠0），

，

，

有相同的焦点，

2

由题意可得c=4|λ|+9|λ|=13，

解得λ=±1． 即有双曲线的方程为

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

﹣

=1或

﹣

=1．

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（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

22|2k2|1k22

k24k10，k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，kAB2022，

22；（2）b故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 23．【答案】（1）B【解析】1111]

67．

（2）根据余弦定理，得

b2a2c22accosB2725457，

所以b7. 考点：正弦定理与余弦定理． 24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．

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下面证明m57时，QAQB恒成立． 416

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xty1，Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y21，得(t22)y22ty10， 由xty1及22t1,y1y22所以0，∴y1y22． t2t2x1ty11，x2ty21，

5511112∴(x1,y1)(x2,y2)(ty1)(ty2)y1y2=(t1)y1y2t(y1y2)＝

4444416112t12t22t2172． (t1)2t22t24t2162(t2)1616第 15 页，共 16 页

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综上所述，在x轴上存在点Q(,0)使得QAQB

547恒成立． 16第 16 页，共 16 页