优化模型（一）线性规划详解，以及例题，用python的Pulp库函数求解线性规划

数学建模系列文章：

以下是个人在准备数模国赛时候的一些模型算法和代码整理，有空会不断更新内容：

3.2 线性规划 Pulp库函数求解

关于优化问题的基础知识，看概述

线性规划定义：

PuLP 库求解线性规划

PuLP是一个开源的第三方工具包，可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划问题。

下面先介绍一下Pulp一些基础的库函数，再以一些例题为例进行重复讲解

基本的一些函数定义：

pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)

pulp.LpProblem 是定义问题的构造函数。
LPProbDemo1是用户定义的问题名（用于输出信息）。
sense用来指定求最小值/最大值问题，可选参数值：LpMinimize、LpMaximize

x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')

x1 是用户定义的变量名

lowBound、upBound用来设定决策变量的下界、上界；可以不定义下界/上界，默认的下界/上界是负无穷/正无穷。本例中 x1,x2,x3 的取值区间为 [0,7]。
cat用来设定变量类型，可选参数值：

• ‘Continuous’ 表示连续变量（默认值）、
• ’Integer ’ 表示离散变量（用于整数规划问题）、
• ’Binary ’ 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。

pulp.value(MyProbLP.objective)

目标函数的最值，即结果

pulp.LpStatus[MyProbLP.status]

输出求解状态如果 是 Status: Optimal 是合理的状态

例题1 一个简单的求解线性规划问题

max		fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
s.t.	x1 + 3*x2 + x3 <= 12
		2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
		x1 + x2 + x3 = 7
		x1, x2, x3 >=0

求解代码：

# 导入 PuLP库函数
import pulp
# 定义一个规划问题
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)
'''
pulp.LpProblem 是定义问题的构造函数。
　　"LPProbDemo1"是用户定义的问题名（用于输出信息）。
　　 sense 用来指定求最小值/最大值问题，可选参数值：LpMinimize、LpMaximize 。
'''
# 定义决策变量
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
'''
pulp.LpVariable 是定义决策变量的函数。
　　‘x1’ 是用户定义的变量名。
　　参数 lowBound、upBound 用来设定决策变量的下界、上界；可以不定义下界/上界，默认的下界/上界是负无穷/正无穷。本例中 x1,x2,x3 的取值区间为 [0,7]。
　　参数 cat 用来设定变量类型，可选参数值：
　　‘Continuous’ 表示连续变量（默认值）、
　　’Integer ’ 表示离散变量（用于整数规划问题）、
　　’Binary ’ 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。
'''
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 设置目标函数
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式约束
MyProbLP.solve()

# 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) 

# 输出每个变量的最优值
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  
    
# 输出最优解的目标函数值 
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  


# 输出结果如下
'''
Optimal - objective value 14.571429
Optimal objective 14.57142857 - 2 iterations time 0.002
Option for printingOptions changed from normal to all
Total time (CPU seconds):   0.00   (Wallclock seconds):  0.00

Status: Optimal
x1 = 6.4285714
x2 = 0.57142857
x3 = 0.0
F(x) =  14.57142851
'''

线性规划例题2（源自清风建模课件）

求解代码：

# 公式就是图上的公式
import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)

# 定义整型变量  'Integer'  范围是（0,+inf）
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, cat='Integer')
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, cat='Integer')
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, cat='Integer')
x4 = pulp.LpVariable('x4', lowBound=0, cat='Integer')
x5 = pulp.LpVariable('x5', lowBound=0, cat='Integer')
x6 = pulp.LpVariable('x6', lowBound=0, cat='Integer')
x7 = pulp.LpVariable('x7', lowBound=0, cat='Integer')
x8 = pulp.LpVariable('x8', lowBound=0, cat='Integer')
x9 = pulp.LpVariable('x9', lowBound=0, cat='Integer')

# 设置目标函数
MyProbLP += 1*(x1+x2) + 1.65*x8 + 2.3*x9 - 0.05*(5*x1+10*x6)-0.0321*(7*x2+9*x7+12*x9)-0.0625*(6*x3+8*x8)-0.111857*(4*x4+11*x9)-0.05*7*x5 

# 设置约束函数
MyProbLP += (5*x1 + 10*x6  <= 6000)  # 不等式约束
MyProbLP += (7*x2+9*x7+12*x9 <= 10000)  # 不等式约束
MyProbLP += (6*x3+8*x8 <= 4000)  # 不等式约束
MyProbLP += (4*x4+11*x9 <= 7000)  # 不等式约束
MyProbLP += (7*x5 <= 4000)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2  ==  x3 + x4 + x5)  # 等式约束
MyProbLP += (x6 + x7  ==  x8)  # 等式约束
MyProbLP.solve()

# 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) 

# 输出每个变量的最优值
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  
    
#输出最优解的目标函数值
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  

输出结果

'''
Status: Optimal
x1 = 1200.0
x2 = 230.0
x3 = 0.0
x4 = 859.0
x5 = 571.0
x6 = 0.0
x7 = 500.0
x8 = 500.0
x9 = 324.0
F(x) =  1146.4152
'''