树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 , 度为2的非叶结点个数为,则有＝＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 向上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下篇博客介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，再反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode create() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
}
1. 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。
如果N代表根节点，L代表根节点的 左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
3. 前中后序遍历代码实现
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode create() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
System.out.print(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 遍历思路
List<Integer> ret = new ArrayList<>();
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) return null;
ret.add(root.val);
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
}
*/
// 子问题思路
/*List<Integer> ret = new ArrayList<>();
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) return null;
ret.add(root.val);
List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);
ret.addAll(leftTree);
return ret;
}*/
// 中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
/*public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> ret = new ArrayList<>();
if(root == null) return ret;
List<Integer> leftTree = inorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
ret.add(root.val);
List<Integer> rightTree = inorderTraversal(root.right);
ret.addAll(rightTree);
return ret;
}*/
// 后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
/*public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> ret = new ArrayList<>();
if(root == null) return ret;
List<Integer> leftTree = postorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
List<Integer> rightTree = postorderTraversal(root.right);
ret.addAll(rightTree);
ret.add(root.val);
return ret;
}*/
}
import java.util.*;
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;//左孩子的引用
public TreeNode right;//右孩子的引用
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
/**
* 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点
*
* @return
*/
public static TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
public static void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
System.out.print(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
public static void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
public static void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
public static int nodeSize = 0;
/**
* 获取树中节点的个数：遍历思路
*/
public static void size(TreeNode root) {
if(root == null) return;
nodeSize++;
size(root.left);
size(root.right);
}
/**
* 获取节点的个数：子问题的思路
*
* @param root
* @return
*/
public static int size2(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
}
/*
获取叶子节点的个数：遍历思路
*/
public static int leafSize = 0;
public static void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
if(root == null) return;
if(root.left == null && root.right == null) {
leafSize++;
}
getLeafNodeCount1(root.left);
getLeafNodeCount1(root.right);
}
/*
获取叶子节点的个数：子问题
*/
public static int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
if(root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
}
/*
获取第K层节点的个数
*/
public static int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
}
// 检测值为value的元素是否存在
public static TreeNode find(TreeNode root, char val) {
if(root == null) return null;
if(root.val == val) {
return root;
}
TreeNode leftVal = find(root.left, val);
if(leftVal != null) {
return leftVal;
}
TreeNode rightVal = find(root.right, val);
if(rightVal != null) {
return rightVal;
}
return null;
}
//层序遍历
public void levelOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode top = queue.poll();
System.out.println(top.val + " ");
if (top.left != null) {
queue.offer(top.left);
}
if (top.right != null) {
queue.offer(top.right);
}
}
}
/*public List<List<Integer>> levelOrder2(TreeNode root) {
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if(root != null) {
queue.offer(root);
}
List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
while(!queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while(size != 0) {
TreeNode top = queue.poll();
list.add(top.val);
if (top.left != null) {
queue.offer(top.left);
}
if (top.right != null) {
queue.offer(top.right);
}
size--;
}
ret.add(list);
}
return ret;
}*/
// 判断一棵树是不是完全二叉树
public static boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if(root != null) {
queue.offer(root);
}
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
if(cur != null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
if(cur != null) {
return false;
}
}
return true;
}
// 判断两棵树是不是相同的树
public static boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if(p != null && q == null || p == null && q != null) {
return false;
}
if(p == null && q == null) {
return true;
}
if(p.val != q.val) {
return false;
}
return isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);
}
// 反转二叉树
public static TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if(root == null) return null;
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}
// 判断另一棵树的子树
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
if(root == null) {
return false;
}
if(isSameTree(root, subRoot)) {
return true;
}
if(isSubtree(root.left, subRoot)) {
return true;
}
if(isSubtree(root.right, subRoot)) {
return true;
}
return false;
}
/*
获取二叉树的高度
时间复杂度：O(N)
*/
public static int getHeight1(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
int leftH = getHeight1(root.left);
int rightH = getHeight1(root.right);
return (leftH > rightH ? leftH : rightH) + 1;
}
// 判断一棵树是否为平衡二叉树
public boolean isBalanced1(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
int leftHight = getHeight1(root.left);
int rightHight = getHeight1(root.right);
return Math.abs(leftHight - rightHight) < 2 && isBalanced1(root.left) && isBalanced1(root.right);
}
// 求树的高度
public static int getHeight(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
int leftH = getHeight(root.left);
int rightH = getHeight(root.right);
if(leftH >= 0 && rightH >= 0 && Math.abs(leftH - rightH) <= 1) {
return Math.max(leftH, rightH) + 1;
}else {
return -1;
}
}
// 判断一棵树是否为平衡二叉树
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
return getHeight(root) >=0;
}
// 判断一棵树是否为对称二叉树
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
return isSymmetricChild(root.left, root.right);
}
public boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree, TreeNode rightTree) {
if(leftTree != null && rightTree == null || leftTree == null && rightTree != null) {
return false;
}
if(leftTree == null && rightTree == null) {
return true;
}
if(leftTree.val != rightTree.val) {
return false;
}
return isSymmetricChild(leftTree.left, rightTree.right) && isSymmetricChild(leftTree.right, rightTree.left);
}
// 方法二 求最近公共祖先
public static TreeNode lowestCommonAncestor2(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if(root == null) {
return null;
}
Stack<TreeNode> s1 = new Stack<>();
Stack<TreeNode> s2 = new Stack<>();
getPath(root, p, s1);
getPath(root, q, s2);
int size1 = s1.size();
int size2 = s2.size();
if(size1 > size2) {
int size = size1 - size2;
while(size != 0) {
s1.pop();
size--;
}
}else {
int size = size2 - size1;
while(size != 0) {
s2.pop();
size--;
}
}
while(!s1.empty() && !s2.empty()) {
TreeNode tmp1 = s1.pop();
TreeNode tmp2 = s2.pop();
if(tmp1 == tmp2) {
return tmp1;
}
}
return null;
}
/**
* 在root这棵树当中 找到node这个节点上的位置
* @param root
* @param node
* @return
*/
public static boolean getPath(TreeNode root, TreeNode node, Stack<TreeNode> stack) {
if(root == null) {
return false;
}
stack.push(root);
if(root == node) {
return true;
}
boolean ret = getPath(root.left, node, stack);
if(ret == true) {
return true;
}
boolean ret2 = getPath(root.right, node, stack);
if(ret2 == true) {
return true;
}
stack.pop();
return false;
}
// 非递归实现前序遍历
public static void preOrderNor(TreeNode root) {
if(root == null) return;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while(cur != null || !stack.empty()) {
while(cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.left;
}
//cur == null
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}
public static void main(String[] args) {
TreeNode root = createTree();
System.out.println("====前序遍历====");
preOrder(root);
System.out.println();
preOrderNor(root);
System.out.println();
System.out.println("====中序遍历====");
inOrder(root);
System.out.println();
System.out.println("====后序遍历====");
postOrder(root);
System.out.println();
System.out.println("树中节点个数为: ");
size(root);
System.out.println(nodeSize);
System.out.println(size2(root));
System.out.println("树中的叶子节点个数为: ");
getLeafNodeCount1(root);
System.out.println(leafSize);
System.out.println(getLeafNodeCount2(root));
System.out.println("第k层的节点个数为: ");
System.out.println(getKLevelNodeCount(root, 4));
System.out.println("树的高度为: ");
System.out.println(getHeight(root));
System.out.println("检查元素是否存在: ");
System.out.println(find(root, 'I').val);
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
getPath(root, root.left.right.right, stack);
}
}因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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