Matrix determinant lemma

$A$是可逆方阵，$u$，$v$列向量，有：

Proof: \begin{equation}\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ v^T & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I+uv^T & u \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ -v^T & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I & u \\ 0 & 1+v^Tu \end{array}\right)\end{equation}

两边取行列式即证。

 

Remarks

1. 矩阵的秩1修正在数值线性代数中应用广泛。
2. 证明的核心技巧：利用上（下）三角阵的行列式等于对角元的乘积这一基本事实。用初等分块矩阵把$I+uv^T$中的$uv^T$消去。
3. Sherman-Morison formula: $A$可逆方阵，$1+v^TA^{-1}u\ne 0$，$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$

What's more?

1. 考虑$I+uv^T$的特征谱，由$(I+uv^T)u=u+uv^Tu=(1+v^Tu)u$知$u$是$I+uv^T$的右特征向量，对应的特征值是$1+v^Tu$。对其它的任一特征向量$b$，有$v^Tb=0$，$(I+uv^T)b=b$，所以剩下的特征值都等于$1$，证毕。
2. 关于Sherman-Morison formula还有一点要说明：秩r修正的逆也是一个秩r修正。$(A+uv^T)^{-1}-A^{-1}=B$，$B$拥有什么样的结构呢？$(A+uv^T)^{-1}(A^{-1}+B)=I$，$AB=-uv^T(A^{-1}+B)$，由于$A$和$A^{-1}+B$都是满秩的，$rank(B)=rank(uv^T)$。